Stimmt folgende Mathematische Aussage?
Stimmt folgende Aussage? Eine jährliche Steigerung der Einwohnerzahl in Höhe von 7,2 Prozent hat die Bevölkerungszahl einer Großstadt innerhalb der letzten 10 Jahre verdoppelt.
Mein Ansatz:
x * 1,072^10 >= 2x
2,0042 x >= 2x -> also korrekt
Ansatz meines Dozenten:
Beispielwert: 200000
200000 * (1/1.072^10) = 99.788,88 -> also Aussage nicht korrekt
Ich finde hier leider meinen Fehler nicht? Nach meinen Kenntnissen sollte meines doch auch korrekt sein?
4 Antworten
Wenn man mathematisch exakt ist, ist die Aussage nicht korrekt.
Denn 1,072¹⁰ ≈ 2,0042 ist nun einmal nicht exakt gleich 2.
Bzw. ist 200000 ⋅ (1/1,072)¹⁰ ≈ 99788,88 nicht exakt die Hälfte von 200000.
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Nun ist es jedoch so, dass 99788,88 „relativ nah“ bei der Hälfte von 200000 liegt und 2,0042 „relativ nah“ bei 2 liegt.
Wenn man davon ausgeht, dass die 7,2 % kein exakter Wert ist, sondern es sich um einen Messwert handelt (wie in Naturwissenschaften bzw. hier in der Statistik üblich), so ist dieser Wert mit einer gewissen Unsicherheit behaftet. Wenn der Wert beispielsweise durch Rundung entstanden ist, so kann man davon ausgehen, dass der wahre Wert zwischen 7,15 und 7,25 liegt. Nun ist...
D.h. der Wert 2, welcher einer Verdoppelung entsprechen würde, liegt durchaus im Bereich der Unsicherheit, die durch die Angabe des Wertes 7,2 % suggeriert wird.
Und in der Realität wird es auch kaum der Fall sein, dass man 10 Jahre lang exakt die gleiche Wachstumsrate hat. Da sind diese Schwankungen schon so groß, dass es da dann auf die kleine Differenz zwischen etwa 2,0042 und dem exakten Wert 2 nun wirklich nicht ankommt.
Man würde als Naturwissenschaftler, Statistiker, etc. sagen... Ja, es ist gerechtfertigt im Rahmen der vorgegebenen Genauigkeit von einer Verdoppelung innerhalb von 10 Jahren zu reden. (Die Abweichung von einer Verdoppelung ist vernachlässigbar klein.)
Nein. Mir erschließt sich nicht, warum du da eine Ungleichung (mit ≥) zeigen möchtest. Das ist hier meiner Ansicht nach unpassend.
Was wäre denn, wenn du statt 2,0042 nun beispielsweise 30 erhalten würdest. Dann wäre die Ungleichung, die du zeigen möchtest richtig. Aber man würde dann wohl kaum von einer „Verdoppelung“ reden, wenn es tatsächlich einer „Verdreißigfachung“ wäre. Das siehst du hoffentlich ein, dass die Aussage durch dem Zeigen der Ungleichung nicht unbedingt bestätigt wird.
Die Aussage war, dass sich die Bevölkerung INNERHALB der letzten zehn Jahre verdoppelt hat. INNERHALB der letzten zehn Jahre gab es so auch einen Zeitpunkt, zu dem die Bevölkerung exakt das Doppelte des Anfangswerts war.
Dein Ansatz ist korrekt. Es hätte gereicht 1,072^10 auszurechnen und zu sehen, dass ein Faktor >2 raus kommt. Die Ungeichung hätte es nicht bedurft.
Der Ansatz deines Dozenten ist eindeutig falsch.
Er dividiert ja somit durch die Potenz. Somit hat sich die Bevölkerung mehr als halbiert. Was das wohl soll?
Es ist zudem dumm sowas mit einer Beispielzahl zu errechnen. In diesem Fall käme was richtiges raus, wenn er multipliziert hätte, aber ein Beispiel zu rechnen ist kein Beweis einer Aussage - rein aussagelogisch betrachtet. Er ist anscheinend nicht die hellste Kerze auf dem Mathematikerkuchen.
Mir ist da ein Gedanke gekommen: Kann es sein, dass er von der Bevölkerung NACH 10 Jahren ausgeht und somit rückwärts rechnet ?
Dann wäre diese Rechnung richtig und da die Ursprungsbevölkerung jetzt weniger als die Hälfte ist, ist die Aussage bestätigt.
Wie gesagt ist das ein Hinweis auf die Richtigkeit der Aussage, aber kein Beweis. Eine Beispielrechnng ist niemals ein Beweis.
Erstmal :
Auch beim Ansatz des Dozenten hat sich die Zahl (sogar mehr als ) verdoppelt. Denn 200000 > 2 * 99789
.
Der Dozent sagt mit seinem Ansatz:
WÄREN es vor 10 Jahren 99789 gewesen , dann WÄREN es heute GENAU 200000 , wenn man von einer 7.2% Steigerung ausgeht.
.
Tatsache bleibt : Jedes Jahr 7.2 dazu führen zu etwas mehr als einer Verdopplung der Eingangsgröße .
.
Die Interpretation :
" 99.788,88 -> also Aussage nicht korrekt " ( von wem immer sie auch stammt ) ist nicht korrekt.
Beides ist richtig.
bei dieser Frage kann es aber doch nur eine richtige Antwort geben, entweder ja oder nein?
Aber nach dieser Aufgabenstellung reicht es doch mathematisch aus wenn ich nur beweise dass x*1,072^10 >= 2x beweise? Wir rechnen nämlich nur mit exakte Werte (es geht eig um Finanzmathematik und diese Frage ist praktisch nur ein "Warm-Up" der End- und Barwertberechnung)