Steckbriefaufgabe, Rekonstruktion von Funktionen?
Hey liebe Community,
folgende Steckbriefaufgabe:
Gesucht ist eine Polynomfunktion zweiten Grades, welche die y-Achse bei y=-2,5 schneidet und einen Hochpunkt bei H(3|2) besitzt.
Ich konnte aus dieser Funktion folgendes entziehen:
Es ist eine Funktion zweiten Gerades, also:
f(x)=ax^2 + bx + c .. das wäre die Normalfunktion.
Ich setze schließlich das x meines Hochpunktes in die Funktion ein, also:
f(3)=a3^2 + b3 + c = 2
Ich habe nun 3 unbekannte Koeffizienten, mein GTR spuckt für a = 0, b = -0,333 und c garnichts raus.
Die Bedingung (Schneidung der Y-Achse) muss ja f(0) = -2,5 sein.
.. und da hört es auf. Ich weiß nicht mehr weiter.
Bitte um Hilfe. Danke im Voraus!
(Ich schaue Videos und google mich verrückt, komme aber nicht weiter. (-: )
4 Antworten
F’(3)=0 Erste Ableitung nicht normalform, da der Hochpunkt in der ersten Ableitung die Steigung null hat.
F(3)=2 > richtig
F(0)=-2.5 > richtig
Dann musst du (3|0) in 2ax+bx+c einsetzen
allgemeine Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
bei y=f(x)=-2,5 ist x=0 ergibt -2,5=a2*0²+a1*0+ao also ao=-2,5
abgeleitet
f´(x)=2*a2*x+a1
ergibt das lineare Gleichungssystem LGS)
1) f(3)=2=a2*3²+a1*3-2,5 aus H(3/2)
2) f´(3)=0=2*a2*3+1*a1
dieses LGS mit den Unbekannten,a2 und a1 schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht.
1) 9*a2+3*a1=2+2,5=4,5 aus H(3/2)
2) 6*a2+1*a1=0 aus H(3/2)
Lösung mit meinem GTR a2=-0,5 und a1=3
gesuchte Funktion y=f(x)=-0,5*x²+3*x-2,5
Ich konnte aus dieser Funktion folgendes entziehen:
Es ist eine Funktion zweiten Gerades, also:
f(x)=ax^2 + bx + c .. das wäre die Normalfunktion.
Das ist korrekt.
Ich setze schließlich das x meines Hochpunktes in die Funktion ein, also:
f(3)=a 3^2 + b3 + c = 2
Das ist auch richtig.
Ich habe nun 3 unbekannte Koeffizienten, mein GTR spuckt für a = 0, b = -0,333 und c garnichts raus.
Du kannst mit einer Gleichung nur jeweils eine Unbekannte lösen. Hast du drei unbekannte Koeffizienten, brauchst du auch drei Gleichungen, um diese zu lösen. Und das bedeutet für dich, es benötigt weitere Bedingungen, die du aus dem Aufgabentext ziehen kannst. Bisher weißt du:
9a + 3b + c = 2
Das wäre deine erste Gleichung.
Die Bedingung (Schneidung der Y-Achse) muss ja f(0) = -2,5 sein.
.. und da hört es auf. Ich weiß nicht mehr weiter.
Das ist korrekt. Dementsprechend setzt du wieder in die allgemeine Grundform ein:
f(x) = ax² + bx + c
f(0) = a*0² + b*0 + c
-2,5 = c
Damit hast du bereits einen Koeffizienten berechnet. Jetzt musst du also nur noch zwei berechnen, brauchst aber dennoch eine weitere Bedingung bzw. Gleichung. Und diese ziehst du zusätzlich aus dem Hochpunkt.
Ein Extrempunkt (Hoch-/Tiefpunkt) hat immer die Steigung null. Das heißt, beim Hochpunkt ist die Ableitung gleich null. Die Bedingung ist also:
f'(3) = 0
Dafür leitest du nun die allgemeine Form ab:
f'(x) = 2ax + b
Jetzt die Bedingung anwenden:
f'(3) = 2*a*3 + b
0 = 6a + b
Also hast du nun folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
I 9a + 3b - 2,5 = 2
II 6a + b = 0
Beachte, dass du die I. Gleichung noch umstellen musst. Da du weißt, dass c=-2,5 ist (was ich bereits eingesetzt habe), musst du die Zahl nun noch auf die rechte Seite packen.
Ein Hochpunkt bedeutet nicht nur das der Graph der Funktion f durch diesen Punkt geht, sondern auch das da die Tangentensteigung null beträgt daher gilt auch noch f'(3) = 0.
"Dann musst du (3|0) in 2ax+bx+c einsetzen"
f'(x) = 2ax + b