Polynomfunktion berechnen anhand von 3 Eigenschaften?
Ich habe hier eine Matheaufgabe, die mir Kopfzerbrechen bereitet, vielleicht kann mir jemand helfen:
Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Polynomfunktion f mit den folgenden Eigenschaften:
- Der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse
- Die Funktion hat den y-Achsenabschnitt 4.
- Der Graph der Funktion verläuft durch die Punkte (2/4) und (-4/100)
Was ich hier entnehmen kann:
- Die Funktion hat einen geraden Grad (2, 4, 6, 8...) und hat seinen Scheitelpunkt bei x = 0, da symmetrisch zur y-Achse.
- Die Funktion beinhaltet ein (+ 4), da y-Achsenabschnitt 4.
Mehr finde ich aber nicht heraus.
3 Antworten
Nun musst du ansetzen f(2) = 4, f(-4) = 100 und f'(0) = 0
Eine allgemeine ganzrationale Funktion hat übrigens keinen Scheitelpunkt.
Sorry, verstehe trotz deines Kommentars nicht, wie ich jetzt den Grad der Funktion herausfinden kann :(
das sind einfachste gleichungen mit zwei unbekannten, keine Sorge
ich frage mich aber ob f'(0) = 0 wirklich dazu führen könnte , dass auch Grad 6 funktionieren könnte.
Stopp! Ich möchte nur so viel lernen, wie ich muss!
f '(0) = 0 gilt für alle zur Y-Achse symmetrischen Funktionen. Außer für die, die bei x=0 nicht ableitbar sind (z.B. Betragsfunktion)
Und ja, es gibt auch ganzrationale vom Grad 6 (und alle höheren Grade), die diese Bedingungen erfüllen. Dann ist das Gleichungssystem unterbestimmt und du kannst einige Koeffizienten frei wählen, aus denen dann die anderen folgen.
So wie man durch 2 Punkte beliebig viele Parabeln, aber nur eine Gerade legen kann.
da aus f'(0) = 0 kein Gewinn gezogen werden kann , ist Grad 6 also nicht möglich ( im Sinne von eindeutig )
Das ist keine gute Herangehensweise . Etwas mehr in der Birne ( gelernt ) bringt sie schon nicht zum Platzen .
Sorry, verstehe trotz deines Kommentars nicht, wie ich jetzt den Grad der Funktion herausfinden kann :(
dass der Grad gerade ist , weißt du nun ..............grad 2 ?
- wegen Der Graph der Funktion verläuft durch die Punkte (2/4) und (-4/100)
kann es keine Parabel sein.
.
Daher gibt es auch keinen Scheitelpunkt , weil der Punkt , den du meinst ab Grad 4 keinen besonderen Namen mehr hat . Aber dein Gefühl ist da nicht falsch.
Grad 4 ?
hat es dafür genug Bedingungen ? Drei sind nötig für ax^4 + bx^2 + c
jo das reicht , da c = 4 schon bekannt ist.
'Ende Gelände.
.
das sind die beiden Glg
100 = (-4)³*a + 16b + 4
4 = 4a + 2b
Tipp : a und b sind echte Brüche...........nö , aber ich habe Fehler im Ansatz : statt hoch 3 muss es natürlich hoch 4 heißen !
Uff... Muss man da wirklich so vorgehen? Auf jeden fall danke für's ausführliche aufschreiben der Schritte. Vom Gleichungssystem komme ich selber weiter.
muss man ? wer viele von den aufgaben dieser Art kennt , weiß , dass es nur eine vierten Grades sein kann , wegen der Anzahl der Bedingungen .
Aber es könnte bei drei Bedingungen auch ein Parabel sein . Da muss man doch begründen , warum man den Ansazt nicht nimmt.
wegen Der Graph der Funktion verläuft durch die Punkte (2/4) und (-4/100)
kann es keine Parabel sein.
Der Graph von f(x) = x² - 14 x + 28 verläuft durch (2|4) und (-4|100)
Die Funktion ist allerdings nicht symmetrisch und geht auch nicht durch (0|4)
Der kleinste mögliche Grad ist maßgebend.
Aufgrund der Symmetrie zur y-Achse kommen nur gerade Exponenten infrage.
Der Graph verläuft durch die Punkte (-2│4), (2│4), (-4│100), (4│100) , (0│4).
Wegen der geraden Exponenten bringen die Punkte (-2│4), (-4│100) keinen Mehrwert. Die Bedingung f'(0) = 0 bringt auch nichts, da in der ersten Ableitung die Konstante 4 wegfällt und damit die Gleichung 0 = 0 entsteht.
Die Bedingungen lauten daher:
(1) f(2) = 4
(2) f(4) = 100
(3) f(0) = 4
3 Bedingungen bedeuten 3 Unbekannte. Diese Voraussetzungen führen aufgrund der Symmetrie zu einer Funktion 4. Grades.
f(x) = a * x⁴ + b * x² + c
Wegen (3) ist c = 4
Das zu lösende LGS lautet:
(1) 4 = a * 2⁴ + b * 2² + 4
(2) 100 = a * 4⁴ + b * 4² + 4
zum Vergleich: f(x) = (1 / 2) * x⁴ - 2 * x² + 4
Wegen der geraden Exponenten bringen die Punkte (-2│4), (-4│100) keinen Mehrwert.
das Argument ist mir noch nicht klar . (-2/4) spricht wegen (0/4) gegen eine Parabel , aber -4/100 wäre doch möglich ?
Taschenrechner nicht erlaubt.