Stärkste lokale Änderung von Funktionen?
Hey ich habe eine Frage zu den Stellen stärkster Zu bzw. Abnahme von Funktionen. Es ist ja bekannt, dass die Wendestellen die Stellen sind bei der die Steigungsänderung maximal sind. Was bedeutet es aber für die lokale Änderungsrate an dieser Stelle, wenn die zweite Ableitung nullgesetzt eine Berührstelle angibt.
3 Antworten
Es ist ja bekannt, dass die Wendestellen die Stellen sind bei der die Steigungsänderung maximal sind.
Ich hoffe, dass das nicht allzu bekannt ist. Denn die Steigungsänderung an der Wendestelle ist nicht maximal, sondern Null. Daher kann man die Wendestellen durch Nullsetzen der zweiten Ableitung bestimmen.
Bedingung Sattelpunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null und f´(x)=0
Ein Sattelpunkt (nennt man auch Terrassenpunkt oder Stufenpunkt) ist ein besonderer "Wendepunkt" ,bei dem die Tangentensteigung f´(x)=m=0 ist und somit parallel zur x-Achse liegt.
Beispiel: y=f(x)=1/3*x³-4*x²+16*x
Wendepunkt=Sattelpunkt=Terrasenpunkt=Stufenpunkt bei xw=4 yw=21 1/3
Ein Wendepunkt trennt 2 Kurvenbögen "konkav" und "konvex"
ultrarunner Was du schreibst macht schon irgendwie Sinn. Aber warum berechnet man die Wendestelle einer Funktion, wenn man die Stellen stärkster Zu bzw. Abnahme einer Funktion angeben möchte. Könntest du das erläutern ?
Da gibt es wohl ein sprachliches Problem: Wir reden einerseits von den Stellen stärkster Steigung (= stärkste Änderung der Funktionswerte) und andererseits von den Stellen mit stärkster Änderung der Steigung. Das ist nicht dasselbe.
An den Wendestellen ist die Steigung maximal (oder minimal), die Änderung der Steigung ist an diesen Stellen jedoch Null.
Achso ja das macht auch SInn, weil wenn eine Funktion f ein Wendestelle hat, dann muss die Ableitung der Funktion f an dieser Stelle auch eine horitontale Tangente haben, weil dort ein Extremum sein muss. Also ist die Änderung der Steigung an einer Wendestelle null.
Bedingung Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0
Bedingung Minimum f´(x)=0 und f´´(x)>0
Bedingung Wendestelle f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null
Bedingung Sattelpunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null und f´(x)=0
Hinweis:Der Sattelpunkt (nennt man auch Terrassenpunkt oder Stufenpunkt) ist ein besonderer Wendepunkt,bei dem die Tangentensteigung m=0 ist und somit parallel zur x-Achse liegt.
Der Wendepunkt trennt 2 Kurvenbögen konvex und konkav.
Der Wendepunkt ist nicht immer die Stelle mit der größten Steigung f´(x)=m
Beispiel: y=f(x)=x³ abgeleitet f´(x)=m=3*x² und f´´x)=0=6*x xw=0 und f´´´(x)=6 also ungleich Null
Steigung im Wendepunkt f´(0)=m=3*0²=0
Steigung bei x=2 ergibt f´(2)=m=3*2²=12
Steigung f´(x)=m=..... Extrema bei f´´(x)=0=....
Hinweis: Wenn f´(x)=m=.... eine nach oben offene Parabel ist,dann hat diese im Scheitelpunkt ein Minimum !
allgemeine Form der Parabel y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
a2=Streckungsfaktor (Formfaktor)
a2>0 Parabel nach oben offen,Minimum vorhanden
a2<0 Parabel nach unten offen,Maximum vorhanden
hier sieht man in einer Graphik f , f' und f''
der WP liegt bei 1 . bei 1 ist f'(1) = -3 , f''(1) = 0
Wenn mit Steigungsänderung gemeint ist , daß beim WP ein lokales Extremum der ersten Ableitung vorliegt, dann stimmt das . Aber die Steigung ist keineswegs die größte . Alle anderen Steigungen sind größer als -3 .
Was für WP gilt , gilt auch für WP , die Berührpunkte sind. Sie nennen sich Terassenpunkte.
genau : ich las gerade diesen Text
Dieser Punkt ( die Wendestelle ) ist dort, wo die Steigung der Funktion f(x) (Steigung einer Funktion wird durch die Ableitungsfunktion bestimmt) am stärksten ist.
und das ist wohl unsinn wie man hier auch sehen kann
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+1%2F9x%C2%B3+-+1%2F3x%C2%B2+-+8%2F3x+%2B+26%2F9+and+1%2F3x%C2%B2+-+2%2F3x+-+8%2F3+and+2%2F3x+-+2%2F3
Wendestellen , die Berührpunkte sind , müssen doch Terassenpunkte sein , oder ?