Schnittpunkt einer parabel und gerade ( Mathe Oberstufe )
Soo hallo erstmal :D Meine FRage lautet: Gegeben sind die Funktionen p(x) x^^2+4x +1 und g(x) 2ax ; Prüfen Sie, für welche Werte von a die parabel p und die Gerade g sich schneiden.
Ich habe die Gleichungen gleichgesetzt und dann alles auf eine Seite :
x^^2 - 4x - 2ax *1 = 0
x(-4x -2a) *1 = 0
Danach habe ich die p/q Formel angewendet für das in der Klammer.... Meine Frage darf man das ( komme sowieso nicht weiter :( )
4 Antworten
Gleichung gleichsetzen - im Prinzip richtig (auch wenn du es hier falsch gemacht hast - du meinst +1, nicht * 1 und +4x nicht -4x).
Dann pq-Formel anwenden - wäre auch richtig.
Komisch ausklammern und pq-Formel anwenden auf das in der Klammer - nicht richtig.
Du hast doch
x² + 4x - 2ax + 1 = 0
Das formst du um zu
x² + (4-2a)x +1 = 0
Und jetzt wendest du die pq-Formel an mit p= (4-2a) und q = 1.
Und dann schaust du, wieviel Nullstellen du findest.
Meine Gleichung wär dann:
- 4-2a/ 2 +- Wurzel aus (4-2a/2 )^2 -1
-2+ a +- Wurzel aus 16 -4a / 4 -1
-2 + a +- Wurzel 4-a-1
... Habe ich bis da alles richtig gemacht ( sry wenn ich nerve :( )
Beim Berechnen von ((4-2a)/2 )^2 hast du dich vertan. Erstmal kannst du kürzen:
((4-2a)/2 )² = (2-a)²
und jetzt musst du natürlich die binomische Formel anwenden!
Ich schreib es mal auf
x = -2+a +- √ ((-2+a)² -1)
= -2+a +- √ (4-4a +a² -1)
= -2+a +- √ (a² - 4a + 3)
Jetzt gilt:
ist a² - 4a + 3 = 0 dann haben Gerade und Parabel einen Schnittpunkt
ist a² - 4a + 3 < 0 dann haben Gerade und Parabel keinen Schnittpunkg
ist a² - 4a + 3 > 0 dann haben Gerade und Parabel zwei Schnittpunkte
Der erste Fall tritt für a = 1 und a = 3 ein.
Jetzt sieht man an dem positiven Vorzeichen von a², dass diese Parabel (also die, die durch a² - 4a + 3 beschrieben wird), nach oben geöffnet ist. Zwischen den beiden Nullstellen ist sie also negativ, links und rechts der Nullstellen positiv.
Die Parabel berührt also die Gerade für a = 1 und a=3, sie schneidet die Parabel für
a < 1 und für a > 3.
Etwas Zeit verging; ich mache weiter, wo FataMorgana2010 aufhörte:
g ist Tangente an p genau dann, wenn die von ihr aufgestellte Gleichung genau eine Lösung hat. Dann verschwindet die Diskriminante der pq-Formel
p²/4 - q =
(4-2a)²/4 - 1 =
(16 - 16a +4a² - 4)/4 ( = 0)
a² -4a +3 = 0; mit Vieta (oder auch pq-Formel, wenn du es nicht "siehst"):
(a -1)(a -3) = 0,
also ist g Tangente an p für
a = 1 und a = 3,
die Berührpunkte sind mit pq-Formel bei
x = -p/2 (± √ 0, das war ja der Witz) = -(4-2a)/2 = a -2, also
(-1|-2) für a = 1 und (1|6) für a = 3
(a und x in g einsetzen, zur Kontrolle nachrechnen, ob der Punkt auf p liegt).
Die Parabel lässt sich auch schreiben
p(x) = (x-(-2))² -3
(Scheitelform), der Scheitel liegt im 3. Quadranten;
g(x) = 2ax
ist eine Ursprungsgerade. Eine Skizze zeigt, dass die Gerade für 1 < a < 3 keine Punkte mit der Parabel gemeinsam hat. Also hat sie (echte) Schnitt- (und keine Berühr-)punkte mit p für
a < 1 oder aber a > 3.
Aber wieso lässt sich durch eine parabel die schnittpunkte einer geraden beschrieben?
Aber wieso lässt sich durch eine parabel die schnittpunkte einer geraden beschrieben?
Das behauptete ich nicht.
Die Umformung der Parabel war nur dazu da, eine Skizze zu erleichtern.
Beruhigenderweise kommt FataMorgana2010 auf das Gleiche.
Ne ich meine das a beschreibt es nicht nullstellen von einer parabel?
also: gleichsetzen, allen Kram auf eine Seite, zusammenfassen und dann die pq-Formel für die Lösung ist korrekt (als Lösungsstrategie), aber dein Ergebnis vom Zusammenfassen sieht arg seltsam aus (um nicht zu sagen, die ist Humbug - allerdings geht der Quatsch schon vorher los: x^2 + 4x + 1 = 2ax gibt nie im Leben deine erste Gleichung, da hast du dich zum ersten Mal verrrechnet)
Hatte 4 std Mathe... Bin total verwirrt :( Aber dank fatamorgana2010 hab ich es verstanden :)
x²+4x+1=2ax
<=> x² +4x -2ax+1
Da ist ein Fehler. Aber ich frage mich, wie man auf eine Gleichung mit 2 Unbekannten die pq-Formel anwenden kann...
Ohhh stimmmt ja O.O Ich hatte heute fast 4 std Mathe am Stück .. bin total fertig :( :D und danke für die schnelle Antwort, war gar nicht so schwer :DD