Schnellste Möglichkeit Raumdiagonalen zu bestimmen?
Hallo liebe Mathe-Experten,
ich sitze gerade an dieser Aufgabe:
bei c) muss man die Raumdiagonalen bestimmen und ich habe nach ca. 15-20 Minuten (!) auch das richtige Ergebnis erhalten. Ich wusste mir nicht anders zu helfen, als mühsam vier Geradengleichungen aufzustellen, dann zwei mal deren den Schnittpunkt zu berechnen und anschließend abzugleichen, ob dieser identisch ist. Gibt es vielleicht noch eine schnellere Methode oder ist das die einzige Möglichkeit?
LG
2 Antworten
Hallo,
ein wenig kannst Du Dir das Leben erleichtern.
Setzt Du die die Strecken AG und BH gleich und findest den Schnittpunkt, so muß dieser Schnittpunkt derselbe sein wie der der beiden Strecken CE und DF.
Du kannst das Prisma ja um 180° drehen, so daß das Rechteck EFGH unten liegt.
So bekommst Du ein identisches Prisma, dessen Raumdiagonalen genauso liegen wie bei dem ursprünglichen, nur daß sie jetzt CE und DF lauten.
Es reicht daher, zwei Raumdiagonalen gleichzusetzen, um nachzuweisen, daß sich alle vier im selben Punkt treffen.
Herzliche Grüße,
Willy
Allerdings funktioniert das nur, weil sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. So liegt der Schnittpunkt in der mittleren Ebene des Spats - und die verändert sich nicht durch die Drehung. Falls der Spat vorher nach vorn gekippt war, ist er nach dem Drehen nach hinten gekippt. Das ist der mittleren Ebene aber egal. Die bleibt, wo sie ist.
Für die Raumdiagonalen müssen wir die Koordinaten der Schnittpunkte der Diagonalen 𝐴𝐶𝐺
ACG und 𝐵𝐷𝐹
BDF berechnen. Zunächst berechnen wir die Vektoren für die Diagonalen:
- Raumdiagonale 𝐴𝐶𝐺
- ACG:
- 𝐴𝐺→=𝐺−𝐴=(2,10,8)−(2,1,−1)=(0,9,9)
- AG
- =G−A=(2,10,8)−(2,1,−1)=(0,9,9)
- Parametrische Form von 𝐴𝐶𝐺
- ACG:
- 𝑟1(𝑡)=(2,1,−1)+𝑡(0,9,9)
- r1
- (t)=(2,1,−1)+t(0,9,9)
- Raumdiagonale 𝐵𝐷𝐹
- BDF:
- 𝐵𝐹→=𝐹−𝐵=(4,6,4)−(6,4,−2)=(−2,2,6)
- BF
- =F−B=(4,6,4)−(6,4,−2)=(−2,2,6)
- Parametrische Form von 𝐵𝐷𝐹
- BDF:
- 𝑟2(𝑠)=(6,4,−2)+𝑠(−2,2,6)
- r2
- (s)=(6,4,−2)+s(−2,2,6)
Nun setzen wir die beiden parametrischen Gleichungen gleich:
(2,1,−1)+𝑡(0,9,9)=(6,4,−2)+𝑠(−2,2,6)
(2,1,−1)+t(0,9,9)=(6,4,−2)+s(−2,2,6)
Das ergibt das Gleichungssystem:
2=6−2𝑠
2=6−2s
1+9𝑡=4+2𝑠
1+9t=4+2s
−1+9𝑡=−2+6𝑠
−1+9t=−2+6s
Lösen wir das System:
- Aus der ersten Gleichung: 𝑠=2
- s=2
- Einsetzen in die zweite Gleichung: 1+9𝑡=4+4⇒𝑡=1
- 1+9t=4+4⇒t=1
- Überprüfung mit der dritten Gleichung: −1+9(1)=−2+6(2)⇒8=8
- −1+9(1)=−2+6(2)⇒8=8 (stimmt)
Der Schnittpunkt ist also:
𝑟1(1)=(2,1,−1)+1(0,9,9)=(2,10,8)
r1
(1)=(2,1,−1)+1(0,9,9)=(2,10,8)
Die Raumdiagonalen schneiden sich im Punkt (2,10,8)
(2,10,8).
Das merkt man. Sei lieb zu Deinen Programmierern - dann bringen sie Dir vielleicht Mathe bei.
Vielen Dank für die nette Antwort und den Hinweis! Das spart ja wirklich die Hälfte der Zeit!