Schiefsymmetrische Matrizen?
(iii) Soll ich zeigen, dass A^2 nicht positiv definit ist? Ist das der Fall, wenn a11 eine negative Zahl ist?
2 Antworten
(iii) Soll ich zeigen, dass A^2 nicht positiv definit ist?
Genau. Denn jede positiv definite, symmetrische Bilinearform definiert ein (euklidisches) Skalarprodukt.
Da A^2 nach (ii) symmetrisch ist und jede Matrix eine Bilinearform definiert, muss die positive Definitheit ausgeschlossen werden.
Ist das der Fall, wenn a11 eine negative Zahl ist?
Ich kenne die folgenden zwei Kriterien. Wir gehen von einer quadratischen Matrix A aus.
- A ist positiv definit genau dann, wenn alle Unterdeterminanten positiv sind.
- A ist positiv definit genau dann, wenn alle Eigenwerte positiv sind.
Um auf deine zweite Frage also eine Antwort zu geben, ja. Denn die erste Unterdeterminante ist a11. Es reicht aber aus, wenn sie nicht positiv ist, also kann a11 enwteder negativ oder null sein.
Dass die Abbildung die anderen Eigenschaften des Skalarprodukts erfüllen sollte offensichtlich sein.
Du musst also zeigen, dass die Abbildung nicht positiv definit ist, also dass (v,v) nicht immer auf eine nichtnehative reelle Zahl abgebildet wird (oder dass es ein v≠0 gibt, sodass (v,v) auf 0 abgebildet wird).
Du musst dazu aber nicht zeigen, dass A^2 nicht positiv definit ist, du kannst es dir einfacher machen, wenn du die Eigenschaften von A ausnutzt.
Ist das der Fall, wenn a11 eine negative Zahl ist?
Bei einer Schiefsymmetrischen Matrix sind alle Diagonaleinträge 0.