Ist die Bilinearform immer das Skalarprodukt oder nur wenn es positiv definit udn symmetrisch ist?
Also hier steht da Die Bilinearform ist sein Skalarprodukt. Aber das ist ja nur der Fall, wenn es dann positiv definit und symmetrisch ist oder?
2 Antworten
Ist die Bilinearform immer das Skalarprodukt oder nur wenn es positiv definit udn symmetrisch ist?
Da steht doch, dass phi positiv definit und symmetrisch sein muss.
Wenn das nicht gilt, es es natürlich kein Skalarprodukt.
Aber das ist ja nur der Fall, wenn es dann positiv definit und symmetrisch ist oder?
Steht auch im ersten Satz von der Definition.
Ist nicht nur die Norm/Länge positiv definit? Ein Skalarprodukt zweier verschiedener Vektoren kann doch auch negativ sein.
EDIT: Jetzt habe ich es verstanden. Eine Bilinearform muss nicht positiv definit sein. Aber wenn sie es ist, dann ist sie ein Skalarprodukt. Eigentlich müsste es positiv semidefinit heißen, da die 0 auch zugelassen ist.
Zum Edit:
Eigentlich müsste es positiv semidefinit heißen, da die 0 auch zugelassen ist.
Nein, positiv definit ist richtig, da eine Norm erfüllen muss, dass norm(v) = 0 genau dann gilt, wenn v=0 gilt. Das ist nicht der Fall, wenn die Bilinearform nur positiv semidefinit ist.
Ich dachte das erst, weil unter (a) steht, das phi eine Abbildung von V x V -> R ist.
Ja stimmt, hier bin ich wieder von zwei verschiedenen Vektoren ausgegangen. Aber das hast du ja schon erklärt.
Ich lese bei Wikipedia gerade, dass die Bilinearform allgemeiner für Moduln definiert ist. Da bin ich raus. Habe mich mal an die allgemeine Grundlagen der Algebra rangetraut. Aber nach den Grundlagen zu Gruppen, Ringen und Körpern bin ich ausgestiegen. Eigentlich würde ich gerne mal den Beweis für die Unauflösbarkeit der allgemeinen Gleichung 5. Grades verstehen, aber bisher hat es dafür nicht gereicht.
Eine Bilinearform phi auf V ist positiv definit wenn phi(v,v)>0 für alle phi≠ 0 gilt.
Zwei verschiedene Vektoren spielen da keine Rolle.