Satz über Umkehrfunktion?
Hey, ich muss für die Uni folgende Aufgabe bearbeiten:
Ich denke, dass ich zeigen muss, dass ψ einen Extrempunkt besitzt und zwar genau in p. Allerdings weiß ich nicht, wie ich den Beweis durchführen soll, thematisch ist die Aufgabe zum Thema Satz über die Umkehrfunktion gestellt, allerdings weiß ich nicht, wie genau mir das hier weiterhilft.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe
2 Antworten
Ich würde das indirekt angehen, habe aber "nur" eine Skizze für dich. Angenommen es gibt keine Nullstelle, dann ist der Gradient nie gleich Null. Es gibt also kein lokales Extremum. Das müsste man zum Widerspruch bringen.
Sei Psi(0) = c >= 0. Es gibt n.V. eine Kreisscheibe B = B(R,0) mit geeignetem Radius R um 0, so dass Psi(x) > (c+1)^2 > c außerhalb oder auf dem Rand. Ein Minimum würde also in jedem Fall im inneren von B liegen.
Das Bild von B (mit Rand) unter Psi ist kompakt, daraus sollte sich ein lokales Minimum konstruieren lassen.
Das ist doch Stoff von Analysis II, d.h. du hast jetzt bereits einen ganzen Haufen an mathematischen Werkzeugen zur Verfügung. Insbesondere solltest du wissen wie man hier ein Foto der Aufgabe einstellt oder wenigstens mathematischen Text erzeugt. Denn die Aufgabe ist so nicht lesbar.
Ansonsten empfehle ich Heuser: Lehrbuch der Analysis II Kapitel 171 Der Umkehrsatz und folgende.