Rotationskörper?
Hallo ,
Ich rechne gerade eine Aufgabe :
f(x)=(2^x-1)×(4-×)
Hierbei soll das Volumen des Rotationskörper berechnet werden.
Die Nullstellen habe ich schon herausgefunden: x=0 und x2=4
Ich weiss hier nicht wie ich vorgehen kann.... Ich habe versucht , die Klammer zu lösen und danach zu quadrieren . Aber es kommen komische Ergebnisse raus , diese könnte ich nicht einfach integrieren ( vorallem nicht mit den Regeln , die wir bis jetzt hatten)
. Hat jemand eine Idee wie ich hier vorgehen kann ?
2 Antworten
Eine mögliche Lösung wäre, die Funktion f(x) in den Bereichen x=0 bis x=2 und x=2 bis x=4 zu untersuchen und dann das Volumen des Rotationskörpers durch Integration zu berechnen. Dazu kannst du zunächst die Funktion f(x) in den beiden Bereichen untersuchen und schauen, wie sie aussieht. Anschließend kannst du das Volumen des Rotationskörpers als das Produkt aus der Funktion f(x) und dem umfangsäquivalenten Kreisbogen berechnen und dann durch Integration bestimmen.
Um das Volumen des Rotationskörpers zu berechnen, kannst du die Formel V=π * ∫(0,4) f(x)^2 * dx verwenden. Dabei ist V das Volumen des Rotationskörpers, π ist die Kreiszahl, f(x) ist die Funktion, die du untersucht hast, und dx ist das Differential der Variable x.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen! Lass mich wissen, wenn du noch Fragen hast.
Ein umfangsäquivalenter Kreisbogen ist ein Kreisbogen, der den gleichen Umfang wie ein anderer Kreisbogen hat. Wenn zwei Kreisbögen den gleichen Umfang haben, bedeutet das, dass sie die gleiche Länge haben, wenn man sie entlang ihres Umfangs abrollt.
Ein Beispiel für umfangsäquivalente Kreisbögen wäre zum Beispiel ein Halbkreis und ein Viertelkreis, beide im gleichen Kreis. Der Halbkreis ist doppelt so lang wie der Viertelkreis, aber beide haben den gleichen Umfang, weil sie den gleichen Kreis umfassen.
Umfangsäquivalente Kreisbögen sind in der Mathematik von Interesse, weil sie bei bestimmten Berechnungen, wie zum Beispiel bei der Integration, eine Rolle spielen können.
Vielen Dank
Ich verstehe nicht ganz , wie ich die Integrale aufstellen soll. Sie meinten ja ich soll die Funktion von 0-2 und von 2-4 betrachten, aber das ganze im Integral trozdem als Produkt stehen lassen....
Ich weiss garnicht , was ich genau berechnen sollte 😔
f(x) ist unser Radius
A = pi*f(x)^2
Das Volumen ist Pi*Integral von 0 bis 4 f(x)^2 dx
Muss dann 302,716 rauskommen.
Ja genau vielen Dank
Mein Problem liegt aber darin , die Funktion herauszufinden, die ich integrieren muss. Dafür muss ich ja quadrieren und die Klammer auflösen. Ich finde das aber ziemlich kompliziert, die Funktion ist ja sehr lang und ich mache da ständig Fehler. Mekne frage ist , ob es einen einfacheren Weg gibt , diese Aufgabe zu lösen ...
Nein, das ist der Weg. Die Klammern musst du aber ja nicht unbedingt ausmultiplizieren. f(x)^2 = (2^x-1)^2(4-x)^2
Ich muss die Funktion doch aber integrieren oder ? Stört das mal Zeichen dazwischen nicht....?
Naja, es stört insofern, als dass du partiell integrieren musst, ja. Ich hab mir grad mal die Stammfunktion angeguckt, das musst du nicht integrieren. Du hast dann irgendwie die falsche Funktion oder so.
Ich glaub nicht dass ich das in der Schule können muss :( also wir hatten das zumindest noch garnicht . Das bedeutet also , entweder richtig ausmultiplizieren oder partielle Integration?
Gar nichts davon. Diese Funktion musst du mit Sicherheit nicht integrieren. Irgendetwas an der Aufgabe wie du sie schilderst wird also nicht stimmen, entweder die Funktion oder die Aufgabenstellung oder so.
Die Aufgabenstellung:
Der Graph von f begrenzt mit der X-achse eine Fläche, die um die X-achse rotiert. skizzieren sie den Graph von f und berechnen sie das volumen des RotationKörpers.
Mit f(x)=(2^x-1)•(4-x)
....in der Klausur könnte ich das ja so nicht machen 😅
In der Klausur wirst du so eine Funktion nicht bekommen. Du kannst dir ja im Internet die Stammfunktion ausrechnen lassen. Dann siehst du, dass du zu 100% das nicht per Hand rechnen musst.
Was ist genau mit umfangsäquivalenter Kreisbogen gemeint ?
Vielen Dank