Restfläche: allgemeine Formel?
Ein schönes Geometrie-Rätsel, das auch einmal im Spiegel als "Rätsel der Woche" gestellt wurde, war dieses:
Nun habe ich mich gefragt, wie eine Verallgemeinerung dieses Rätsels aussehen würde und wie man diese dann lösen kann. Mit einiger Mühe ist mir dann eine Lösung gelungen, aber ich möchte allen Geometrie-Fans nicht das Vergnügen nehmen, es selber zu versuchen:
Die Flächeninhalte A,B,C der Teildreiecke sollen vorgegebene Zahlenwerte sein (alle positiv). Welchen Flächeninhalt D hat das (hier grün dargestellte) Viereck ?
D soll als Term mit den drei Variablen A, B und C dargestellt werden.
2 Antworten
Du kannst den Beweis aus dem Stern glatt abschreiben, das führt zu den Gleichungen
(A+a)/b = C/b und a/(B+b) = A/c
wobei a+b = D wie im Stern.
Er ergibt sich
a = (A * B * (A + C))/(C^2 - A * B)
b = (A * B * (B + C))/(C^2 - A * B)
Wobei C^2 > A * B sein sollte, wie du schon festgestellt hast.
Somit ist
D = (A *B * (A + B + 2 C))/(C^2 - A * B),
Was für A, B, C = 1, 2, 3 die 18/7 ausspuckt.
Den Stern wird es freuen , findet er hier doch noch eine Erwähnung
@eterneladam:
Ja, exakt diese Formel in A,B,C hatte ich auch hergeleitet (ohne dabei den im Spiegel gelieferten Lösungsweg zu "kopieren").
Gute Nacht !
Ich habe im Anschluss an deine Frage noch eine keine Denksportaufgabe erstellt.
Hallo,
wenn Du eine Lösung hast, kannst Du diese auf ähnliche Dreiecke erweitern, auf Dreiecke also, die gleiche Winkel und Seitenverhältnisse wie das vorliegende besitzen.
Das Dreieck ist konstruierbar:
Du legst eine Strecke AB fest. Irgendwo zwischen A und B wählst Du einen Punkt P.
Durch P ziehst Du eine Senkrechte zu AB und markierst auf dieser drei Punkte im Abstand von 3, 4 und 5 Einheiten. Durch die Punkte im Abstand von 4 und 5 Einheiten ziehst Du Parallelen zu AB.
Den Punkt, der 3 Einheiten von AB entfernt auf der Senkrechten liegt, nennst Du M.
Verbinde B und M und verlängere diese Verbindung über M hinaus. Wo sie die Parallele mit dem Abstand 4 schneidet, sei Punkt R. Nun verbinde A und M. Wo die Verlängerung dieser Strecke über M hinaus die Parallele im Abstand 5 schneidet, sei Punkt S.
Die Strahlen durch A und S sowie durch B und R schneiden sich in Punkt C des Dreiecks.
Wie lang auch immer Du Strecke AB gewählt hast und wie lang auch die Einheiten sein mögen - ziehst Du von R, M und S Höhen auf AB, haben diese immer das Verhältnis 4:3:5 und die Dreiecke ARM, AMB und ASB die Verhältnisse 1:3:2.
Die gesuchte Strecke ist dann immer das (18/7)fache des kleinsten Dreiecks.
Also: Die Sache läßt sich durchaus verallgemeinern.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo Willy,
ich dachte an einen Lösungsweg, bei dem man sich überhaupt nicht mehr auf jenen für den Fall mit A=1, B=2 und C=3 stützt, sondern durchwegs "allgemein" argumentiert. Das Ergebnis sollte also von der Form
D = Term (A,B,C)
sein.
Sorry, nein. Wenn A, B und C beliebige Zahlenwerte haben (mit A>0, B>0, C>0 und AB < C^2 ), dann ergibt sich für D ein gewisser Term mit den Variablen A,B und C. Der Faktor 18/7 tritt darin überhaupt nicht auf.
Gestern habe ich auch die Formel D=[2ABC+A²C+AC²)/(B²-AC) berechnet, wobei bei mir A links liegt, B unten und C rechts, B und C also gegenüber der Skizze vertauscht sind.
Die Formel basiert auf der Tatsache, daß sich die Transversalen so schneiden, daß sich Abschnitte ergeben, die sich so verhalten wie die angrenzenden Flächen.
So geht es dann ganz ohne Trigonometrie. Solange B²>AC, funktioniert das bei allen Dreiecken.
Bemerkung betr. Winkel: es sind keinerlei rechte Winkel gefordert !
Naja, genau derartige Überlegungen habe ich mir natürlich auch gemacht. Jede Lösung ist auch durch affine Abbildungen veränderbar.
Die tatsächlichen Werte der Winkel sind dabei ziemlich unwichtig.
Allerdings habe ich noch festgestellt, dass man beispielsweise (oder sinnvollerweise) etwa 0 < A B < C^2 voraussetzen sollte.
Ist bei dir zu Haus im Dialekt der Spiegel ein Stern ? :))