Residuensatz?
Kennt sich jemand mit den Residuensatz aus? Ich habe nämlich eine Frage dazu. Dankeschön :)
Das Integral will ich mit dem Residuensatz berechnen.
Das ist schon zu lange her und was ist Deine Frage?
Wenn sich jemand damit auskennt: Ich habe ein bestimmtes Integral und würde es gerne damit lösen
1 Antwort
Ich nehme an, dass das Integral entlang der reellen Achse läuft, damit ist die Umlaufzahl der des Integrationsweges 1. Damit folgt direkt:
\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\ln\left( 1 + x^{2} \right)}{1 + x^{4}}\, \operatorname{d}x = 2 \cdot \pi \cdot i \cdot \sum\limits_{k = 1}^{n}\left[ \operatorname{Res}\limits_{\alpha_{k}}\left( \frac{\ln\left( 1 + x^{2} \right)}{1 + x^{4}} \right) \right] \wedge \alpha_{n} \in \gamma = \underbrace{\Re_{\mathbb{C}}}_{0 \leq,\, < \infty}
(ich hasse diesen Formel Editor)
Wir wissen, dass 6 Polstellen vorliegen, alle an nichtreellen Stellen, zwei erster Ordnung und zwei doppelt.
Die Res_alpha an 1+alpha²=0 aufsumiert sind 0 aka wir können sie ignorieren.
Wir können somit die übrigen alpha als 1+alpha^4=0 => alpha_k = cos(pi+k pi/2) + cos(pi+k pi/2) i => die Imaginärteile heben sich bei k -> k \pm a immer auf somit ist es reell das Ergebnis, was als Check ganz nett ist.
Schreiben wir die Summe aus erhalten wir:
Integral = 1/16 π (sqrt(2) π + sqrt(2) ln(4) + 4 (-1)^(1/4) ln(1 + (-1)^(1/4)) - 1/2 ln(1 - (-1)^(1/4)) + 4 (-1)^(3/4) ln(1 + (-1)^(3/4)) - 1/2 ln(1 - (-1)^(3/4)))
Integral = 0.4915...
Du kannst die ganze Gleichung auch noch mit den Areafunktionen vereinfachen durch ihre Beziehung zu reell-wertigen Logarithmen. PS: In der Lösungsformel beziehe ich mich nur auf den Hauptzweig der Wurzeln aka immer nur Einheitswurzeln mal einen Betrag.
