Regression nur mit Konstant, ohne Steigung?
Bei der OLS-Regression schauen wir gerade den Spezialfall an, wo eine Regression legt nur eine Konstante und einen Störterm hat, also so: β0 + ui.
Der echte Regressor β1*X fällt also weg.
Um die Varianz der Konstante β0 zu bestimmen, muss man wie folgt vorgehen. Kann mir jemand den Schritt von der 2. zur 3. Gleichung erklären? Vielen Dank!
2 Antworten
Moin. Für unabhängige Zufallsvariablen X, Y und konstantes a gilt
Var(a*X+Y) = a^2 * Var(X) + Var(Y),
Var(a+X) = Var(X).
In deinem Fall ist die additive Konstante das beta_0 und die Faktoren 1/n. Du kriegst also für diesen Ausdruck für unabhängige u's
… = (1/n)^2 * Var(u_1) + … + (1/n)^2 * Var(u_n).
Typischerweise sind die u's auch gleich verteilt, also hast du da n-mal die Varianz von u stehen. Ein n kürzt sich raus und et voilà, es bleibt Var(u)/n stehen.
(β₀ + u₁ + β₀ + u₂ + β₀ + u₃ + ... + β₀ + u_n) / n =
(n * β₀ / n) + (u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n) / n =
β₀ + [u_i] / n
Somit kann β₀ vor die Summe geschrieben werden.