tangentengleichung mit bestimmter steigung?

5 Antworten

Hi :-)

Allgemeines Vorgehen

Allgemein gehst du hier wie folgt vor:

  • f(x) ableiten
  • Ableitung mit der Steigung gleichsetzen und die so entstandene Gleichung nach x auflösen
  • Nun noch den dazugehörigen y-Wert ermitteln, indem du den oder die erhaltene(n) x-Wert(e) in f einsetzt. 
  • Der Punkt ist ein Punkt, auf dem die Tangente liegt. Also m und Punkt in y = mx+b einsetzen und nach b auflösen

Beispiel

Wir sagen, deine Funktion sei f(x) = x². Die Tangente im Punkt P soll bestimmt werden, in dem die Steigung 2 ist.

Nun weißt du: Die Ableitung gibt die Steigung von f an. Also leiten wir ab:

f'(x) = 2x

Nun kennst du ja das Verfahren, Extremstellen zu berechnen, gell? Letztendlich gehst du wie folgt vor: Du weißt, dass in den Extremstellen die Steigung Null ist, weshalb du f'(x) = 0 setzen kannst und den dazugehörigen x-Wert berechnen kannst. Denn die Funktionswerte der Ableitungsfunktion an den verschiedenen Stellen sind eben die Steigungen. Hier wussten wir, dass die Steigung - also der Funktionswert der Ableitung - Null ist und konnten gleichsetzen.

Nun wissen wir: Die steigung, also der Funktionswert, ist 2! Also gehen wir wie oben vor uns setzen f'(x) mit 2 gleich:

2x = 2

Nun eben nach x auflösen, indem wir durch 2 teilen:

x = 1

Nun wissen wir: An der Stelle x = 1 ist die Steigung 2.

Meist reicht das. Willst du den dazughörigen Funktionswert berechnen, um den Punkt vollständig einzusetzen, würdest du einfach diesen Wert in f(x) einsetzen und den Funktionswert halt ermitteln:

f(1) = 1² = 1

Also ist der Punkt P(1|1).

Nun kannst du dir, wenn du Lust hast, die Gleichung der Tangente ermitteln. Du hast die Steigung der Tangente - das ist hier m - und zusätzlich einen Punkt, durch den t(x) gehen soll. Nun zusammen mit P in y = mx +b einsetzen:

1 = 2*1 +b

1 = 2+b 

-1 = b

Unsere Tangente wäre also 

t(x) = 2x -1.


Deine Aufgabe

Nun wenden wir das mal an! Für deine Aufgabe hast du also:

f(x) = x² -4x +1

Ableiten nach der Regel f'(x) = n*x^(n-1):

f'(x) = 2x -4

Nun wird dies mit unserer bereits bekannten Steigung gleichgesetzt:

f'(x) = 2

2x -4 = 2

2x = 6

x = 3

Nun setzen wir x = 3 in f ein:

f(3) = 3² -4*3 +1

= 9 -12 +1

= -2

Der Punkt ist also P(3|-2).

Nun wissen wir: m = 2 und P liegt auf der Geraden, also erhalten wir nach dem Einsetzen:

-2 = 3*2 +b

-2 = 6 +b

-8 = b

Daraus folgt folgende Tangentengleichung:

t(x) = 2x-8

Die Normale dazu wäre übrigens -1/2x -8 ;-))


Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Bei Fragen melde dich - bin im Mathe LK :)

LG ShD

Beitrag  TOP aber kompliziert erklärt.

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y = f(x) = x²- 4x + 1

y´ = f´(x) = 2x - 4 = tanα = 2    →  x = 3

y = f(3) = 3² - 4∙3 +1 = - 2

y = g(x) = m ∙ x + n = 2 ∙ 3 + n = - 2    →   n = - 8

Tangentengleichung:  y = g(x) = 2x - 8

LG

y=x^2 -4 *x + 1 abgeleitet y´=2 *x - 4=m=2 ergibt x= 3

eingesetzt in y=x^2 -4 *x +1= 3^2 - 4 *3 + 1= -2

Der Berühungspunkt der Tangente liegt also bei x=3 und y= -2

Hinweis : Die 1.te Ableitung gibt die Steigung an jeden Punkt der Funktion f(x)

yt=m *x + b Form der Tangentengleichung ist eine Gerade

Werte eingesetzt - 2= 2 *3 +b ergibt b= -2 - 2 *3 = - 8

Tangentengleichung am Punkt P(3,-2 9 ist also y=2 * x - 8

Prüfe auf rechen - und Tippfehler.

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