Rechnen mit Grenzwerten?
Kann mir jemand mit dieser Aufgabe helfen?
4 Antworten
Man kann leicht beweisen, dass (5j² - 2) / (8j² + 3) für j > 0 streng monoton wachsend und bei 5/8 nach oben beschränkt ist.
Den Fall j < 0 können wir ignorieren, weil das Vorzeichen von j irrelevant ist.
Dann lösen wir (für j > 0) die Ungleichung
5/8 - (5j² - 2) / (8j² + 3) < 10^(-3)
(5j² - 2) / (8j² + 3) > 5/8 - 10^(-3)
(5j² - 2) / (8j² + 3) > 0,624
(5j² - 2) > 0,624 * (8j² + 3)
j² > 484
j > 22
also N >= 23
Du denkst schon richtig.
N ist das kleinstmögliche j. Also ist j mindestens so groß wie N.
Daher ist j >= N.
Hallo,
ersetze das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen und löse die Gleichung nach j auf. Wegen der Betragsstriche kannst Du beim Wurzelziehen später das Minus ignorieren und durch Plus ersetzen.
Es kommt ungefähr j=22 heraus.
Ab j>22 (gerundet) paßt es dann.
Herzliche Grüße,
Willy
Erstmal aus den beiden Brüchen einen machen:
jetzt die Klammern weg:
und gleich sieht es noch viel schöner aus:
Die Ungleichung sieht also folgendermaßen aus:
Die Betragsstriche können wir jetzt weglassen, j^2 immer positiv ist, womit der Nenner auch immer positiv ist und damit auch der gesamte Bruch.
Wir multiplizieren mit 10^3 (also mit 1000)
Wir multiplizieren mit dem Nenner:
-24
/64
Das ist eine notwendige Bedingung, leider keine hinreichende.
Probieren wir doch einfach mal mit 4, 5, 6, 7. Mit 3 geht es noch nicht, denn3^2<15,25. Wir sehen, dass das Ergebnis zu groß ist, aber dem < 0,001 immer näher kommt. Wobei die Abstände zu vorherigen Ergebnis immer kleiner werden. Mit ein wenig Erfahrung kann man dann in etwa einschätzen, wie groß j sein muss. Na gut, dann nehmen wir 25, da kommt 0,00077... heraus, das ist ausreichend
Ab hier kannst Du weitermachen.
Willst Du jetzt noch den kleinstmögliche Wert bestimmen, so versuche es mit 24, 23, 22 ...
In der dritten Gleichung steht im Zähler nicht 1, sondern -31, vielleicht landest du deshalb beim Wert von 15, der nicht funktioniert
Stimmt, ich habe mich schon gewundert, warum die Bedingung nicht hinreichend war. Die Ergebnisse beim Ausprobieren legten es aber nahe, dass ich noch eine andere Bedingung übersehen habe. Und auch bei mehrfachen Nachlesen des von mir geschriebenen, habe ich den Fehler übersehen.
Danke für die Info.
Weiß jetzt nicht einmal ob ich das Minus vor der 16 übersehen habe oder die 3 auf meiner Tastatur geklemmt hat, das falsche Ergebnis bleibt das gleiche.
Mein Mathelehrer hätte mir eine Klausur mit einem solchen Fehler mit einem "Tsss, tsss, tsss" und "gehen Sie ein wenig früher schlafen." zurückgegeben.
Ich würde es so machen (und ich weiß nicht so ganz genau, was die Bemerkung nahelegen soll, da am Ende exakt "j > 22" rauskommt).
Nicht ganz richtig. Das Gleichheitszeichen darf nicht zwischen der Wurzel und der 22 stehen, denn die Wurzel ist ≠ 22. [die Wurzel] < j = 22 ist aber in Ordnung.
Dann rechne doch bitte nochmal selber nach, ob der Term unter der Wurzel nicht 484 = 22² ergibt und damit das Gleichheitszeichen gerechtfertigt sein könnte.
Stimmt, ergibt tatsächlich 484. Womit 22 als Lösung natürlich ausscheidet, j soll ja größer sein. Hatte noch meinen Lösungsweg im Hinterkopf, natürlich mit dem eingebauten Fehler, bei dem dann alles andere als eine natürliche Zahl bei der Wurzel herauskam.
Warum genau ist N dann am Ende größer als j? Ich dachte N<=j?