Radioaktiver Zerfall Ra-226?
Könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen?
Ra-226 hat eine Halbwertzeit von 1600 Jahren
a) bestimme nach wie viel Jahren noch ein achtel der ursprüngliche Menge an Ra- 226 vorhanden ist.
B) berechne welcher Anteil noch nach 80000 Jahren vorhanden ist.
Problem/Ansatz:
ich verstehe nicht wie man das rechnen soll! Könnt ihr es aber bitte Schrittweise erklären, damit ich es zuordnen kann und eine Gleichung notieren kann! Danke im Voraus
4 Antworten
Hi Rose,
die Antworten von Wechselfreund und Binchen sollten schon hilfreich gewesen sein.
Ich will Dir aber die Denkweise von Wechselfreund erklären:
1/8 = (1/2)³
also das sind 3 Halbierungsperioden, demnach: 1600 *3 = 4800 Jahre.
und 80.000 / 1600 = 50 (da hat Wechselfreund sich vertippt)
Das sind also 50 Halbierungsperioden.
Es bleiben demnach nach 80.000 Jahren, noch: (1/2)^50 von dem RA-236 übrig.
Das ist fast nichts....
LG,
Heni
Hallo Rosee374,
jeder ²²⁶Ra-Kern hat eine konstante, für dieses Nuklid (Atomkernsorte) typische Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, zu einem ²²²Rn-Kern und einem schnellen ⁴He-Kern (Alphateilchen) zu zerfallen; auf 1600 Jahre gerechnet ist diese gerade ½. Deshalb gibt es überhaupt eine feste Halbwertszeit; egal wie viel ²²⁶Ra vorhanden ist, in 1600 Jahren zerfällt immer die Hälfte davon.
Einen derartigen Zerfall nennt man exponentiell, denn er lässt sich durch eine Potenz mit fester Basis b>0 und variablem Exponenten x beschreiben.
In dieser Situation bietet sich b=½ und x=t/Tₕ an, wobei t=0 einen nahezu beliebig setzbaren Anfang markiert:
Die Funktion lässt sich auf mehrere Arten umschreiben; dies ermöglichen die Potenzgesetze
und
Diese Gleichung beantwortet Dir eigentlich schon beide Fragen: Es ist ja ⅛ = (½)³, also t/Tₕ = 3, also t = 3·Tₕ = 4800 Jahre.
Wenn t = 80000 Jahre sind, ist t/Tₕ = 50, und dann ist nur noch (½)⁵⁰ der ursprünglichen Menge vorhanden, weniger als ein Billiardstel.
Umschreibung der GleichungUrsprünglich ist die Potenzierung so etwas wie wiederholte Multiplikation, also nur für natürliche Exponenten definiert. Allerdings erweitern die Potenzgesetze die Definition ganz natürlich (2.2) auf Ganze und (2.3) auf Rationale Zahlen:
x lässt sich als 0+x schreiben. Setzt man das in den Exponenten und kehrt (2.2) um, steht da
Erweitert man 1 zu x/x = x·(1/x), setzt das in (2.3) ein und kehrt diese um, ergibt sich
Wegen (3.1) lässt sich (1) auch als
schreiben. Es geht aber noch weiter: (2.3) ermöglicht auch den Wechsel der Basis, denn es gibt immer einen Exponenten, mit dem Du eine andere Zahl a>0 zu b potenzieren kannst, den Logarithmus von b zur Basis a:
und damit auch
Besonders gern verwendet man als Basis die EULERsche Zahl e = 2,71828… (eine irrationale Zahl), denn ihre Exponentialfunktion ergibt abgeleitet (Differenzialrechnung, die Ermittlung der Steigung der Funktion in jedem Punkt) sich selbst. Die e-Funktion lässt sich damit als Reihe von Potenzfunktionen schreiben, von der jeder Summand die Ableitung des nächsten ist:
Hier kann man für x jede Reelle Zahl einsetzen, und das erweitert die Menge der möglichen Exponenten auf die Reellen Zahlen. Damit lässt sich auch (4) zu
Mit 'ln(…)' ist der Logarithmus zur Basis e gemeint; er heißt auch der Natürliche Logarithmus. λ heißt auch die Zerfallskonstante. Ihr Kehrwert ist die mittlere Lebensdauer des Nuklids.
1/8 = 1/2·1/2·1/2
80 000 / 1600 = 5