Quadratische Funktion Textaufgabe wie lösen?

2 Antworten

Willibergi
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
19.03.2017, 16:07

Das ist eine Extremwertaufgabe.

Du sollst zwei Zahlen a und b finden, deren Summe 40 ergibt und deren Produkt maximal ist.

Dafür stellst du zwei Gleichungen auf, nämlich eine für das Produkt P(a, b) und eine für die Summe:

P(a, b) = a * b
a + b = 40

Die Nebenbedingung a + b = 40 können wir nach einer Variable umformen und dadurch das Produkt P(a, b) nur noch in Abhängigkeit einer Variable darstellen:

a + b = 40 ⇔ b = 40 - a

Und in P(a, b) einsetzen:

P(a) = a * (40 - a) = -a² + 40a

Das ist ein quadratischer Term, stellt also eine Parabel dar - und wo ist der Funktionswert einer Parabel am größten (bzw. ggf. auch am kleinsten)? Natürlich am Scheitelpunkt!

Also formen wir P(a) in die Scheitelpunktform der Parabelgleichung um (quadratische Ergänzung) und können dann einfach den Scheitelpunkt ablesen:

P(a) = -a² + 40a
        = -(a² - 40a)
        = -(a² - 40a + 20² - 20²)
        = -(a² - 40a + 20²) + 20²
        = -(a - 20)² + 400

Also liegt der Scheitelpunkt bei (20 | 400) und auf unsere Aufgabe bezogen bedeutet das, dass das Produkt bei a = 20 mit a * b = 400 maximal wird.

Wir wissen, dass a = 20 und berechnen damit der Vollständigkeit halber b:

b = 40 - a = 40 - 20 = 20

Also wird das Produkt P(a, b) bei a = 20 und b = 20 maximal mit P(a, b) = 400.

LG Willibergi

PS: Alternativ kann man auch ableiten und den Hochpunkt berechnen, anstatt quadratisch zu ergänzen, aber eben auch nur, wenn man es schon kann. ;-)
veeQuZ  19.03.2017, 16:19

Könnten Sie es auch ableiten zur Veranschaulichung, falls sie Zeit sowie Lust haben.

Danke,
Lg

Willibergi  19.03.2017, 16:21
@veeQuZ

Hab ja heute einen guten Tag. ^^

P(a) = -a² + 40a

P'(a) = -2a + 40

P'(a) = 0 für Extrempunkt, also:

0 = -2a + 40 ⇔ 2a = 40 ⇔ a = 20 und dann einfach wie oben weitermachen.

Geht schneller und ist auch die schönere Lösung, aber da man in den unteren Jahrgangsstufen noch nicht ableiten kann, wird da eben quadratisch ergänzt.
Halbrecht  14.10.2019, 17:29

immerhin , nach dieser , seiner fünften Frage hat der FS GF den Rücken gekehrt . Trotz einer sehr guten Antwort.