Problem: Unterschiedliche Flächeninhalte bei ein und dem selben Dreieck
Warum bekomme ich bei der Berechnung von ein und dem selben Dreieck unterschiedliche Flächeninhalte heraus, je nach dem welche Seite ich mit der dazugehörigen Höhe berechne? (Grundfläche * Höhe * 1/2)
( z.B. Grundfläche c * Höhe c ergibt nicht das Gleiche wie Grundfläche a * Höhe a)
4 Antworten
Also die Flächenformeln unter http://de.wikipedia.org/wiki/Dreieck
sind eindeutig. Nenne konkret die Werte a, b, c und h, die angeblich unterschiedliche Ergebnisse ergeben.
Zur Not rechne ich es mit den immer gültigen Integral-Formeln und 100 Stellen nach dem Komma nach.
Außerdem gibt es genug Flächenformeln, die ohne h auskommen.
Bei sehr spitzen Winkeln kann der Höhen-Endpunkt (oben) auch mal außerhalb liegen...
Hinweis: das Wort "Grundfläche" ist bei Dir falsch! Erst die Multiplikation 2er Längendimensionen ergibt eine 2D Fläche.
Ich denke mal, da ist eine Höhe nur bis zur Seite gegenüber gemessen worden statt bis zur Parallelen. 100 Stellen nach dem Komma wird nicht notwendig sein.
Vielen Dank für die schnellen Antworten. Hier noch einmal die konkrete Aufgabe: Es soll der Flächeninhalt eines Dreiecks ausgerechnet werden. Der Flächeninhalt beträgt laut Lösung 7,5 cm². Bei Seitenlänge b mit der Höhe von b geteilt durch 2 erhalten wir das richtige Ergebnis. Beim Rechnen mit a oder c aber nicht (wir erhalten 7 cm²). Dreieck 1: Seitenlänge a: 3,5 cm Seitenlänge b: 5 cm Seitenlänge c: 4 cm H von a: 4 cm H von b: 3 cm H von c: 3,5 cm
Bei Variante a Weg 1 wurde ein Zeilenwechsel "verschluckt" ->
zwischen ) und sqrt muss ein = Zeichen stehen
Ohne das = könnte A als Produkt 2er Wurzeln gedeutet werden, als ob Wurzel() mal Wurzel() stehen würde.
Außerdem ist in der 2. Klammer innerhalb der Wurzel ein (c-b)
Die eingesetzten Werte sind aber alle richtig.
Gibt's ja gar nicht. Gib doch mal die Seitenlängen alle bekannt, und ich konstruiere das mal nach.
Eine Möglichkeit kannst du selbst schon ausschließen. Die Definition der Höhe ist nicht eigentlich der Abstand vom Punkt zur gegenüberliegenden Seite, sondern der Abstand einer Seite zu einer Parallelen, auf der der Punkt gegenüber auch liegt. Bei stumpfwinkligen Dreiecken darf man dies nicht übersehen. Vielleicht hast du eine Höhe falsch abgelesen.
Übrigens: eine Seite im Dreieck heißt Grundseite.
Das stimmt doch alles.
Wenn man es zeichnet, stimmen aber deine Ablesungen nicht alle. Denn hb=2,8 cm.
Lasse ich mal die Division durch 2 weg, habe ich
3,5 * 4 = 14
5 * 2,8 = 14
4 * 3,5 = 14
So what?
A = 7,0 cm²
Da dies dreimal eintritt, ist die Angabe 7,5 cm² falsch, wo auch immer sie herkommt.
Auch Du hast zu stark gerundet! Alle 3 Höhen stimmen nicht, wenn man die Seitenlängen als gegeben ansieht und sie exakt berechnet:
hc =15 * sqrt(55)/28=3.972... und nicht gerundet 4
usw.
Vermutlich waren jedoch die Höhen gegeben und Ihr habt die Seitenlängen gerundet, denn Ergebnisse sind meist Glatt!
Dann hast Du falsch gemessen oder falsch gerechnet. Schreib doch mal die Maße des Dreiecks.
Genau hier liegt Dein Problem:
Du kannst nicht auf der einen Seite die Zwischenergebnisse aufrunden und auf der anderen abrunden und hoffen, dass das Endergebnis identisch ist!
Entweder Variante a) Seitenlängen fest vorgegeben:
Weg1 Heronsche Flächenformel
s=u/2=(a+b+c)/2=(7/2+5+4)/2
A=sqrt(s*(s-a)*(s-c)*(s-c))sqrt(s*(s-7/2)*(s-5)*(s-4)),
mit s=(7/2+5+4)/2 ergibt A=15*sqrt(55)/16
= 6.95268608165218401441693510075...
Weg2 Höhenformel:
alp=acos((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c))
hc=b*sin(acos((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)))
=4*sin(acos((4^2+(7/2)^2- 5^2)/(2*4*7/2)))=15*sqrt(55)/28=3.972...
A=15*sqrt(55)/28 *7/4 =15*sqrt(55)/16
=6.95268608165218401441693510075... identisch!
Oder Variante b) b , Höhe hb und Höhe hc fest:
Weg 1 Höhenformel: A=b*hb/2=5*3/2=15/2=7.5
Weg 2 Seite c berechnen:
sin(α)=hb/c
c=hb/sin(α)=3/sin(asin(hc/b))=3/sin(asin(7/2/5))=30/7
A=c*hc/2 = 30/7*7/2/2=15/2=7.5 -> identisch!