Flächeninhalt mit drei höhen berechnen?

Wie berechne ich den flächeninhalt wenn ich drei höhen eines dreiecks gegeben hab

Comments

[BlueSquirrel]

was ist das für ein Dreieck? Ist eine Höhe die Komplette Höhe oder sind es nur drei Teilhöhen?

[Anxietyrider]

Die winkel sind halt alle unterschiedlich also es sind alles drei höhen von einem und demselben dreieck

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

nimm an, Du hast drei Höhen: ha=10, hb=8 und hc=6 (cm oder m oder inch oder was auch immer).

Nun gilt für den Flächeninhalt eines Dreiecks F=a*ha/2=b*hb/2=c*hc/2.

Es muß also gelten a*5=b*4=c*3 mit den Seiten des Dreiecks a, b und c.

Das kgV von 5, 4 und 3 ist 60.

So bekommst Du ganze Zahlen. 5a, 4b und 3c sollen jeweils 60 ergeben, was bedeutet: a=12, b=15 und c=20.

Das ist noch nicht das gesuchte Dreieck, sondern ein Hilfsdreieck, das dem gesuchten ähnlich ist.

Du bestimmst nun eine der drei Höhen in diesem Hilfsdreieck, z.B. hc.

Die kannst Du zum Beispiel so bestimmen, daß Du Dir klarmachst:

Einerseits gilt: h²=b²-q², wobei q der Abschnitt zwischen Punkt A und dem Höhenfußpunkt auf Seite c ist. Andererseits gilt:

h²=a²-(20-q)², denn h gehört zu zwei rechtwinkligen Teildreiecken des Dreiecks ABC.

Gleichsetzen ergibt den Wert für q und damit auch den Wert für h aus einer der beiden Bestimmungsgleichungen. Die Seiten a und b des Hilfsdreiecks sind ja bekannt.

In diesem Fall ist h=8,966569857.

h im gesuchten Dreieck soll aber die Länge 6 haben.

Nun teilst Du 6 durch 8,966569857 und bekommst als Ergebnis 0,669152206.

Das ist der Umrechnungsfaktor vom Hilfsdreieck zum gesuchten Dreieck. Da beide Dreiecke ähnlich sind, gilt dieser Faktor für alle Seiten, die einander entsprechen.

Du rechnest nun h/2, also 3, mal 20 mal Umrechnungsfaktor und hast die gesuchte Fläche, denn Du hast die tatsächliche Höhe mit der tatsächlichen Seite c multipliziert und das Ergebnis halbiert, was der allgemein übliche Weg ist, um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen.

Ob Du nun a und ha oder b und hb oder c und hc dazu hernimmst, bleibt sich gleich, denn gleiches Dreieck bedeutet gleiche Fläche.

Herzliche Grüße,

Willy