Physik-Aufgabe Heisenberg?
Was wäre der folgende Ansatz/die Rechnung für diese Aufgabe und vielen Dank im Voraus:
Elektronen mit vernachlässigbarer Anfangsgeschwindigkeit werden in einer Fernsehröhre mit
der Spannung 20 kV beschleunigt. Die Anodenöffnung habe den Durchmesser Delta X=0,1 mm . Wie stark ist der Elektronenstrahl aufgeweitet, wenn er auf den Bildschirm trifft, der 50 cm von der Anode entfernt ist?
1 Antwort
Hallo Ryul2173,
das Gedankenexperiment beruht auf der Unschärfebeziehung zwischen Position und Impuls, genauer der x- Komponente (die in Richtung der Achse nenne ich die z-Komponente).
Bei der Berechnung der Abweichung kommt es auf das Verhältnis zwischen den Komponenten des Impulses bzw. der Geschwindigkeit an.
Die kinetische Energie Eₖ der Elektronen nach der Beschleunigung beträgt natürlich e∙U = 20 keV ≈ 3,2 ×10⁻¹⁵ J; sie ist kleiner, aber nicht mehr vernachlässigbar klein im Vergleich zur Ruheenergie E₀ = mc² ≈ 511 keV ≈ 8,18×10⁻¹⁴ J der Elektronen, die bis auf den konstanten Faktor c² mit der Masse identisch ist.
Daher ist die Beziehung zwischen Energie E = E₀ + Eₖ und Impuls relativistisch, d.h. die NEWTONsche Näherung Eₖ = p²/2m liefert vielleicht einen zu großen Fehler. Dasselbe gilt für die Formel Eₖ = ½mv² für die Beziehung zwischen Energie und Geschwindigkeit.
Die exakte, relativistisch korrekte Beziehung zwischen E und pz ist gegeben durch
(1.1) (E⁄c)² − pz² = (E₀⁄c)²,
was sich zu
(1.2) (E⁄c)² − (E₀⁄c)² = pz²
umstellen lässt. Die Beziehung zwischen E und vz wiederum ist durch
(2.1) E = E₀/√{1 − (vz⁄c)²}
gegeben, was sich nach vz auflösen lässt zu
(2.2) vz = c∙√{1 − (E₀⁄E)²}.
Dies sind immerhin rund 0,27∙c.