Periodische Zahlen als Bruch?

Folgende Frage:

Habt ihr einen Beweis, dass sich jede periodische rationale Zahl auch als Bruch darstellen lässt?

Answer 1

[CyberPhoenix69]

Ja, es gibt einen Beweis dafür, dass sich jede periodische rationale Zahl auch als Bruch darstellen lässt.

Beweis:

Sei x eine periodische rationale Zahl mit periodischer Teil d und Dezimalbruch 0.a1​a2​...an​ddd.... Dann kann x als folgende Summe dargestellt werden:

x=0.a1​a2​...an​+10n+1d​+10n+2d​+...

Diese Summe ist eine geometrische Reihe mit erstem Glied a1​a2​...an​ und gemeinsamem Verhältnis 101​. Die Summe dieser Reihe ist:

x=1−101​a1​a2​...an​​=9/10a1​a2​...an​​=910a1​a2​...an​​

Dieser Bruch ist ein einfacher Bruch, der die periodische rationale Zahl x darstellt.

Alternativer Beweis:

Wir können den Beweis auch wie folgt führen:

Sei x eine periodische rationale Zahl mit periodischer Teil d und Dezimalbruch 0.a1​a2​...an​ddd.... Dann kann x als folgende Dezimalzahl dargestellt werden:

x=0.a1​a2​...an​+0.000...0d

Diese Dezimalzahl ist eine abbrechende Dezimalzahl, die sich als Bruch darstellen lässt. Dieser Bruch ist auch ein Bruch, der die periodische rationale Zahl x darstellt.

Beispiel:

Die Zahl x=0.3 ist eine periodische rationale Zahl mit periodischem Teil 3. Wir können sie wie folgt als Bruch darstellen:

x=0.3+0.03+0.003+...=93​+9003​+900003​+...=83​

Schlussfolgerung:

Jede periodische rationale Zahl lässt sich auch als Bruch darstellen.