Nullstelle von Funktion berechnen?

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Kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

DieChemikerin

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

15.12.2023, 13:24

Hi,

bevor wir uns den Teilaufgaben widmen, zunächst ein paar Präliminarien.

Wie du sicherlich weißt, hat die Sinusfunktion periodisch wiederkehrende Nullstellen. Diese sollst du einmal im gesamten Definitionsbereich (Aufgabe a) und einmal in einem vorgegebenen Intervall (Aufgabe b) bestimmen.

Die Standard Sinusfunktion f(x) = sin(x) hat periodisch wiederkehrende Nullstellen bei x = 0, x = pi, x = 2pi usw.

Teilaufgabe a)

Wir nähern uns, ausgehend von der Sinusfunktion oben, deiner Funktion an.

Die allgemeine Sinusfunktion ist f(x) = a*sin(bx+c) +d.

Bei dir ist a = -0,5; b = 3; Δx = -pi/2; (c = 3pi/2); d = 0.

a = -0,5: Nun hast du die Hälfte von einer allgemeinen Sinusfunktion (0,5), also teilst du einfach erstmal durch 2: x = 0, x = pi/2, x = pi usw. Das Minus sagt nur, dass die y-Werte das umgekehrte Vorzeichen erhalten. die Nullstellen sind davon unberührt.

b = 3: Über den Wert von b bekommst du Auskunft über die Periodizität deiner Funktion. Teilst du 2pi durch b, erhältst du diesen Wert, auch p genannt. Bei der einfachen Sinusfunktion ist p = 2pi. Also liegen bei Null, pi und 2pi Nullstellen. Nun teilst du durch 3, stauchst die Funktion also. Deine Periodizität ist 2pi/3. Dann hast du bei x = 0, x = pi/3, x = 2pi/3, x = pi usw Nullstellen. Also inklusive 0 und pi vier Nullstellen.

c = 3pi/2 bzw. Δx = -pi/2: Der Parameter c verschiebt entlang der x-Achse. Das musst du nun also mit einfließen lassen in die Nullstellen. Du hast den Vorteil, dass in deiner Gleichung in den Klammern die Form b*(x-Δx), denn c = -Δx*b. Also verschiebst du deine Funktion um pi/2 nach links. Du musst also von allen Nullstellenwerten pi/2 subtrahieren: x = -pi/2, x = -pi/6, x = pi/6, x = pi/2 (= 3pi/6) u.s.w.

Nun wissen wir, wo deine Nullstellen konkret liegen. Das drücken wir jetzt allgemeiner aus. Wir erhalten: Für n = 0 haben wir dann x = ± pi/6; für n = 1 haben wir dann ± 3pi/6 = ± pi/2 usw. - damit hast du mit einer allgemeinen Formel den gesamten Definitionsbereich abgedeckt.

Teilaufgabe b)

Die Aufgabe ist schnell gelöst. Du setzt alle n ein, bis du bei pi als Lösung rauskommst. Du nimmst dieses Mal nur den positiven Teil der Formel, denn das Intervall liegt im Positiven. Also haben wir x = pi/6 (n=0); x = pi/2 (n=1); x = 5pi/6 (n=2). Bei 7pi/6 wären wir ja schon über pi als Intervallgrenze drüber, deshalb können wir den Wert nicht mehr mit rein nehmen.

Ich hoffe ich konnte dir helfen, bei Fragen melde dich.

Woher ich das weiß:Hobby – seit der Schulzeit, ehemals Mathe LK