Matrix-Multiplikation: gibt es A B = E mit B A =/= E?
Seien A und B zwei nxn Matrizen und E die n-dim. Einheitsmatrix.
Gibt es Matrizen A und B, für welche gilt: A B = E, mit B A =/= E ?
Oder ist "B A = E" gegeben, sobald "A B = E" gilt?
Ich habe noch kein Beispiel gefunden, für welches "wenn A B = E, dann auch B A = E" nicht gilt, jedoch auch keinen Beweis dafür, dass es immer gilt.
Vielen Dank schon mal für Hilfe :)
4 Antworten
Der Beweis ist relativ simple:
A*B = E bedeutet, dass B die Inverse Matrix von A ist.
->
!A^-1=B!
A*(A)^-1 = E
B*A = E bedeutet, dass A die Inverse von B sein muss.
Es gilt unter anderem:
(A^-1)^-1 = A
->
B*A = E => B*B^-1 = B*(A^-1)^-1 = B*A = E
Nein gibt's nicht.
Wenn A B = E ist, dann ist B die inverse Matrix zu A. Und dann gilt auch BA = E
So am Smartphone mal eben leider nicht. Wenn ich mich richtig erinnere geht das über die Definition des Produkts. Wenn alle Elemente der Hauptdiagonale 1 und alle anderen 0 sind, ergab sich irgendwie, dass A und B vertauscht werden können. Schreib es dir mal mit einer 2x2 Matrix auf und verallgemeinere auf nxn.
Sei AB = E, dann ist
BA = E • BA = (A^-1 • A)• B • A
= A^-1 • (A • B) • A = A^-1 • A = E
Das stimmt auch wieder, kennst du eine andere Herleitung?
Jetzt hab ich mich verwirren lassen, die Herleitung beantwortet meine Frage doch ^^
Man hätte A^(-1) ja auch anders benennen können. Die Gleichung zeigt, dass es nur eine Inverse zu A gibt und für diese A*A^(-1)=E=A^(-1)*A gilt.
Ich hab mich irgendwie verlesen, da ja A • B = E , ist B das Rechtsinverse zu A. Ich bin daher von einer regulären Matrix ausgegangen. Aber iokii hat Recht: Wenn man die Aufgabenstellung ernst nimmt, dann heißt die Aufgabe: Ist eine rechtsinveese Matrix auch links invers. Die Antwort darauf ist glaube ich im Allgemeinen nein, finde aber jetzt auf die Schnelle kein Gegenbeispiel. Besteht die Matrix aus reellen Zahlen und hast du die normalen Rechenregeln, wirst du wegen der Kommuzstivität der reellen Multiplikation und Addition auch kein Gegenbeispiel finden.
Nach all den anderen Antworten hier und meinem jetzigen Verständnis ist die Antwort darauf nein, genau. Deine Herleitung hat das aber auch gezeigt:
Gehst du von zwei Inversen zur selben Matrix A aus, so hast du gezeigt, dass die erste = der zweiten, also dass es nur eine Inverse zu A gibt. Da diese Inverse auch die zweite Bedingung erfüllt, also BA=E, gilt dies für alle Matrizen, für welche AB=E gilt (da es ja auch nur eine von diesen gibt).
Deine Herleitung etwas umformuliert:
Seien AX = E & YA=E
XA = E • XA = (Y • A)• X • A
= Y • (A • X) • A = Y • A = E
-> XA = E und (aus der Definition) YA = E, somit Y=X und es gilt AX=E=XA
Oder mache ich hier einen Überlegungsfehler?
nein, ich habe gezeigt, dass, wenn ein komplett Inverses existiert, dass dann A • A^-1 = A^-1 • A ist. Die Voraussetzung in der Aufgabe ist aber lediglich , dass ein Rechtsinverses existiert, das heißt dann nicht unbedingt , dass die Gleichung dann gilt, denn in meiner Herleitung habe ich die Existenz eines Linksinversen vorausgesetzt. Bei Matrizen über reellen Körpern ist das auch so, wohl aber nicht allgemein
Stimmt, du hast die Existenz einer Links-Inversen vorausgesetzt. Aber du hast ja nicht gesagt, dass sie gleich der Rechts-Inversen sein soll. Das ergibt sich dann durch die Herleitung.
Von dem her wurde gezeigt, dass bei einer Existenz beider Inversen, diese gleich sind und Multipliziert mit A jeweils E ergeben. Ist das so korrekt?
Also gibt es "AB=E mit BA=/=E" nicht, was ja meine ursprüngliche Frage war, welche somit beantwortet wäre.
Dein Einwand ist, dass "AB=E <-> BA=E" trotzdem nur gegeben ist, falls BA=E auch existiert? Von dem bin ich mal ausgegangen (da für meine Fragestellung "hinreichend"), daher wohl das Missverständnis...
Klar, wenn die Linksinverse existiert , dann ist sie gleich der Rechtsinversen. interessant wäre ja jetzt die Frage , unter welchen Bedingungen aus der Existenz einer Rechtsinversen die Existenz der Linksinversen folgt.
Habe ich mir auch schon gedacht, aber währe wohl noch etwas komplizierter ^^
Vielen Dank für deine Hilfe :)
Die Kommutativität gilt für reguläre Matrizen, um die es sich hier handelt.
Leider bin ich einer falschen Erinnerung in Zusammenhang mit einer unklaren Formulierung aufgesessen, aber Du könntest hier vielleicht fündig werden:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=7494&ref=https%3A%2F%2Fwww.bing.com%2F
Super, merci!
Kennst du vielleicht auch noch einen "Beweis" dazu? Also einfach eine Herleitung dafür, dass es immer gelten muss.