Mathe Wurzeln und Quadratzahlen?
Hello heute kommen vielleicht ein paar Fragen zu Mathe schreibe morgen eine Arbeitđ Naja auf jedem Fall soll man zu diesem 3 Behauptungen Stellung nehmen sind die richtig wenn nicht welche ist falsch die erste ist richtig das weiĂ ich aber kann eine Quadratzahl auch ein Minus haben?
Frage bezieht sich auf das Bild
5 Antworten
Nur die linke Behauptung stimmt.
Die Wurzelfunktion ist nur fĂŒr positive
Ergebnisse und 0 definiert.
Naja, ein junge Frau möchte Erdbeereis, die andere Vanilleeis und der junge Mann sagt, ich gehe mit euch beiden aus â und es gibt Erdbeer und Vanille. Da hat der junge Mann doch alles richtig gemacht âŠ
Aber im Ernst, so einfach ist das nicht:
- In der Mathematik ist es schön, wenn jede Funktion eine Umkehrfunktion hat. Daher wurde fĂŒr die Funktion f(x) = xÂČ definiert: FĂŒr alle Zahlen zwischen 0 und unendlich (einschlieĂlich Null) gibt es fĂŒr f(x) = xÂČ die Umkehrfunktion g(x) = sqrt(x) (wenn sqrt die Wurzel meint). Und das ist die Krux: Wurzel aus xÂČ ist fĂŒr positive x mit |x| definiert. Denn, es soll schon "schön" zugehen in der Mathematik!
- Aber so klar ist das nicht, denn die Umkehrfunktion hat einen anderen Definitionsraum als die Funktion! AllgemeingĂŒltiger kann daher gesagt werden, dass es eine Abbildung, leider keine Funktion, als Umkehrung der Funktion f(x) = xÂČ gbit und diese ist fĂŒr alle x aus den reelen Zahlen (einschlieĂlich Null) definiert, dafĂŒr aber nicht mehr eindeutig.
Jetzt kann ich mich raus reden, dass fĂŒr eine Funktion h(x) = a xÂČ + b x + c es natĂŒrlich fĂŒr diskrete Werte bis zu zwei Lösungen gibt, aber wo ist denn der Unterschied zwischen f(x) und h(x)|a = 1, b = c = 0 ? Dann ist f(x) eine eindeutige Funktion und h(x) = f(x) aber mehrdeutig?? GefĂ€llt mir nicht.
Daher: Frage nach den Randbedingungen! Ist die Wurzel hier als Funktion aufzufassen oder als Abbildung?
Nun gut, im Matheunterricht soll es vermutlich auch "schön" zugehen, daher wĂ€re eine salomonische Antwort erforderlich: Als Funktion aus der Umkehrfunkton zum Quadrat ist Wurzel aus 81 neun, wobei die Randbedingung ist, das die Wurzel (nur) fĂŒr alle positiven, reelen Zahlen und Null definiert ist. Ohne diese Randbedingung ist der Begriff mehrdeutig.
Das Ergebnis beim Wurzelziehen ist immer positiv, d. h. die Behauptungen -9 und +/-9 sind falsch.
(-9)ÂČ ist zwar auch 81, aber das ist hier nicht die Frage...
Ăh, nein? Das ist ja gerade die Krux bei quadratischen Gleichungen und so ergeben sich ja gerade zwei und nicht nur eineLösung? â !
Leider hört man immer wieder folgende ErklĂ€rung:"Wurzel(x) bedeutet, welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert dieses x". Es mĂŒsste richtigerweise heiĂen: "welche POSITIVE Zahl ergibt....".
Denn die falsche ErklĂ€rung wĂŒrde der Rechnung x * x = 81 entsprechen, also xÂČ=81. Das ergibt tatsĂ€chlich die Lösungen +9 und -9.
Diese Antwort ist falsch. Wurzeln aus positiven Zahlen haben immer 2 Lösungen +/-.
Wurzeln aus negativen Zahlen haben eine imaginÀre Lösung
Z.B. â-900 = â-1*â900 = +/-30i (od. +/-30j)
Dann existieren also auch keine Wurzelfunktionen.
f(x)=Wurzel(x) => (nach Deiner Auffassung) f(9)=3 und f(9)=-3 ...?!? Bei einer Funktion wird jedem Wert der Definitionsmenge genau ein Wert der Wertemenge zugewiesen.
Wenn Wurzeln NICHT in einer Gleichung vorkommen, sind sie immer als POSITIV DEFINIERT.
Man hat es so festgesetzt, obwohl ja -9*-9 auch +81 ist.
WARUM ?
die Rechnung 9 * wurz(81) - 7 ist gleich 74 und nicht zugleich auch -88........das gÀbe ein Kuddelmuddel
wenn gefragt wird, welches Zahl mit sich selbst malgenommen 81 ergibt :
Als Gleichung
xÂČ = 81
also
x = wurzel(81)
nur dann ist + und - 9 die richtige Antwort.
Wo nimmst du diesen ersten Satz bitte her?
Vielleicht macht man das am Anfang in der Schule so? Aber dass ist allgemein nicht korrekt...
doch doch . Lies die ganze Antwort und meine ErgÀnzung und meinen Kommentar bei dir.
Nein, es wird ĂŒblicherweise so definiert ist als allgemeingĂŒltige Aussage aber IMHO falsch.
Es ist auch etwas an den Haaren herbei gezogen, das Ausrechnen einer Wurzel nicht als Gleichung aufzufassen.
Rein praktisch mag ein Taschenrechner oder mensch das im alltĂ€glichen Gebrauch das so anwenden, uneingeschrĂ€nkt gĂŒltig ist das aber nicht.
Wikipedia schreibt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel
Also ist das eine positive Zahl.
Bitte richtig zitieren:
⊠definiert man ĂŒblicherweise die Quadratwurzel als die nichtnegative der beiden Lösungen âŠ
Zwei Lösungen! Und ĂŒblicherweise, also nicht allgemeingĂŒltig!
Ach, im EN steht's eindeutig, nur dieser deutsche GauĂ hat mal wieder geschlampt? s. a. meine eigene Antwort.
D musst unterscheiden zwischen "Wurzel" als Lösungsmenge der Gleichung x^2=y. Die hat natĂŒrlich zwei Elemente fĂŒr alle y>0, sowie ein Element fĂŒr y=0 und kein Element fĂŒr y<0.
Davon zu unterscheiden ist f(y) = sqrt(y). Da ist sqrt(x) definiert als positives Element der Lösungsmenge von y=x^2. Sonst wÀre nÀmlich die Quadratwurzel keine Funktion.
Falsch :D