Mathe Schargraphen?
Ich habe folgende Aufgabe mit der Funktion:
Gibt es Schargraphen die zueinander achsenymmetrisch zur y-Achse oder Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind.
Für die Aufgabe habe ich soweit:
Stimmt das so und muss ich da noch mehr machen? Bzw. gibt es jetzt eine Methode um genaue Graphen zu bestimmen die diese Bedingungen erfüllen? Oder gibt es vielleicht Methoden sowas deutlich schneller und eleganter zu machen?
1 Antwort
Noch bei beiden Gleichungen alles auf eine Seite bringen. Dann erhälst du
(a+b)x³+2(b–a)x²+8x=0
und
(a–b)x³–2(a+b)x²=0.
Erstere Gleichung kann nicht für alle x und irgendwelche a und b erfüllt sein, denn eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 kann höchstens 3 Nullstellen haben. Die Gleichung kann also nur dann für alle x erfüllt sein, wenn links die Nullfunktion steht. Das ist aber nur dann der Fall, wenn die Koeffizienten alle null sind. Im ersten Fall geht das wegen der 8 nicht, aber im zweiten erhält man das LGS
a–b = 0
a+b = 0
und die einzige Lösung ist a = b = 0. Also gibt es keine zwei Funktionsgraphen der Schar, die achsen- oder punktsymmetrisch sind.
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Edit: Aus a>3 folgt 0<x<4/3
Tatsächlich gilt die Ortkurve für alle reellen Zahlen a und x - wenn es den für die jeweiligen a Hoch- bzw. Tiefpunkte gibt. Allerdings müssen wir im Rellen a größer oder gleich 3 voraussetzen, womit wir nur 0<x<4/3 betrachten.
Du berechnest dann eine sogenannte Ortskurve und schaust, ob es eine Gerade ist.
Du kannst auch schauen, ob bei variierenden a nur eine Translation des Graphens vorgenommen wird.
Kommt auf die Funktionsvorschrift an, was einfacher ist. Wie lautet die Aufgabe den konkret?
Die Aufgabe ist mit der Funktion von der ursprünglichen Frage und lautete genau "Entscheiden Sie, ob alle Hochpunkte (oder Tiefpunkte) auf einer gemeinsamen Geraden liegen." Ich habe halt die extrempunkte in abhängigkeit von a berechnet aber wenn ich die Ortskurve berechnen will bekomm ich das nicht nach a umgestellt. Denn wenn man die erste Ableitung 3ax²-4ax+4 in die abc formel einsetzt bekommt man irgendwas mit einer Wurzel drin und so und das kriegt man nicht nach a aufgelöst. Wie funktioniert das mit dem Translation des Graphen?
Das mit der Translation kannst du in diesem Fall vergessen, da es sich auch um eine Streckung handelt.
Die Ortskurve lautet
2x(1–x)/(1–0,75x)
Also nein, liegen nicht auf einem Graphen.
Wenn du magst kann ich dir den Rechenweg aber auch nochmal hochladen.
Ergänzt.
Beachte bitte, dass ich die Fälle x_1 und x_2 nicht getrennt behandelt habe, da ich schon wusste, dass sie den Parameter a auf gleiche Weise beeinflussen (das ± spielt keine Rolle mehr)
Danke das hilft sehr. Bei einer anderen Aufgabe musste ich von der Funktion die Extrempunkte bestimmen (in abhängigkeit von a natürlich) und als Aufgabe dazu habe ich jetzt: Entscheiden Sie, ob alle Hochpunkte (oder Tiefpunkte) auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
Wie mache ich das?