Mathe, Parallelen durch eine Rechnung beweisen?
Wie kann man beweisen dass zB bei einem gleichschenkligen Trapez die Seiten ab und cd parallel sind?
5 Antworten
Sind die Punkte des Trapezes denn in einem Koordinatensystem gegeben? Dann brauchst du doch nur nach y zu gucken. Jeweils die Punkte A und B müssen denselben y-Wert haben und die Punkte C und D auch.
Wenn es schräg liegt, müssen die Steigungen der Seiten a und c gleich sein. Eine Steigung für eine Gerade:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Das kannst du zB über die Vektorrechnung machen.
Du nimmst den Richtungsvektor von A nach B und von C nach D, jetzt gilt dass das Innprodukt der beiden Vektoren gleich ist wie die Multiplikation der Beträge der beiden Vektoren.
Du kannst alternativ auch zeigen dass x = k*y ist wobei x und y die beiden Vektoren sind und k ein reeller skalarer Koeffizient, dadurch zeigst du dass die Vektoren linear abhängig sind.
Alternativ kannst du von beiden Vektoren auch die Norm bilden, wenn die gleich ist dann hast du es auch gezeigt.
Du zeigst damit aber nur dass die Richtungsvektoren gleich sind, das bedeutet es kann auch sein, dass die beiden Strecken ein und die selbe Strecke sind.
Genauer geht es indem du mit den Vektoren ein lineares Gleichungssystem aufstellst, wenn das keine Lösung hat sind die Vektoren wirklich parallel, bei unendlich vielen Lösungen sind die Vektoren gleich.
Wenn du den Weg von A nach B als Funktion f bezeichnest und C nach D als Funktion g dann haben die Funktionen die Form:
f(x),g(x) = k*x+d ("lineare" Funktion)
Wenn die Steigung also die Zahl k bei beiden Gleichungen gleich ist sind sie Parallel gleich bedeutend damit ist dass f(x) = g(x) keine Lösungsmenge besitzt.
Wenn die Gleichung unendlich viele Lösungen besitzt dann sind die Strecken nicht nur Parallel sondern ident
Dann kannst du es immer noch mit den Funktionen machen.
Oder du sagst einfach dass ein Trapez durch diese Eigenschaft Charakterisiert wird, währen die Seiten nicht parallel wäre es auch kein Trapez.
Du kannst auch zeigen dass ein Normale an die Grundseite auch normal auf die Obere Seite steht, aber für das alles brauchst du irgendeine Parametrisierung deiner Seiten.
Du kannst für die Grundseite einfach y = 0 angeben. Der Punkt A wird zB durch (0,0) angegeben. er Punkt B durch (0,l) wobei l die Länge deiner Grundseite ist.
Das gleich geht auch für C und D, du kannst dir so auch ohne die Anfängliche Angabe eines Koordinatensystems dein Problem in ein solches überführen und mit der Vektorrechnung berechnen.
In der Physik ist es meistens so, dass man das Koordinatensystem erst zur Mathematischen Beschreibung heranzieht obwohl das Problem nicht in einem Koordinatensystem angegeben ist.
Das muß (kann) man nicht beweisen !!
Das Trapez ist so definiert, d.h. wenn die Seiten nicht parallel sind, dann ist es kein Trapez.
Gute Frage, würd mich auch mal interessieren :).
Aber eigentlich weiß man, dass ein Trapez 2 parallele Seiten hat, wie ein Rechteck 4 rechte Winkel hat.
MFG
DFF
durch ein gleichungssystem
wenn es keine lösung gibt, sind die geraden paralell (soory wenn ich falsch liege)
Hast Du bemerkt, daß die Fragestellung "... dass zB bei einem gleichschenkligen Trapez die Seiten ab und cd parallel sind?"
"von hinten durch die Brust in Auge" geht?
Ein Trapez hat per Definition zwei parallele Seiten.