Mathe Frage Hilfe - Zusammenhang von Graphen und Termen?
Gegeben ist die Funktion (3x + x^3) / (2x^2 - 2). Man soll jetzt die Polstellen bzw. Senkrechte Asymptoten angeben. Ich hab dann bei x<-1 geht gegen 1 und bei x>-1 auch geht gegen 1 rausgebracht. Also bei mir geht da alles immer gegen 1, aber in der Lösung steht, dass es beim ersten gegen -unendlich geht und beim anderen gegen +unendlich... Kann mir wer erklären wieso?
Und als Lösung für die Senkrechte Asymptote steht da x=1, aber müsste nicht auch noch zusätzlich bei x=-1 eine Senkrechte Asmyptote sein? Könnte mir das auch noch wer erklären?
LG
1 Antwort
Hallo,
die Funktion hat in der Tat zwei senkrechte Asymptoten, eine bei x=-1 und eine bei x=1, da man den Nenner N folgendermaßen schreiben kann:
N = 2x² - 2 = 2(x² - 1) = 2(x+1)(x-1)
Strebt x gegen -1, so strebt (x+1) gegen Null und damit die Funktion gegen + oder - Unendlich. Desgleichen bei x = 1.
Ob die Funktion gegen + oder - Unendlich strebt, kannst du durch eine Vorzeichenbetrachtung feststellen.
Beispiel:
ist x < -1 und x strebt gegen -1, dann ist der Term (x+1) negativ.
Der Term (x-1) ist für solche x auch negativ, und der Zähler x³ + 3x ist auch negativ. Der Funktionswert ist also insgesamt negativ => f(x) strebt gegen
minus Unendlich.
Diese Betrachtung musst du für alle Fälle machen:
(x>-1, x → -1), (x<1, x → 1), (x>1, x → 1).
Die Funktion hat also jedesmal einen Vorzeichenwechsel, wenn man sich den Nullstellen des Nenners von links oder von rechts nähert.
Gruß
