Graph schneidet Waagrechte Asymptote?
Hallo, der Graph einer Funktion darf ja nie die senkrechte Asymptote schneiden ,weil man dann in der Funktionsgleichung durch Null teilen würde . Die waagrechte Asymptote darf jedoch geschnitten werden .Kann mir jemand erklären wieso das möglich ist ?
Funktionsterm : f(x)= x^2: (x-2)^2
4 Antworten
Die waagerechten (auch schräge oder kurvige) Asymptoten zeigen, wohin sich der Funktionsgraph im Unendlichen annähert, jedoch wird die Asymptote dort (Richtung unendlich) weder berührt noch geschnitten. "Zwischendurch", also "weit weg von Unendlich", ist dies durchaus möglich wie auch an deinem Beispiel zu sehen ist.
Hallo,
bei einer Funktion f gibt es zu jedem x-Wert ja genau einen y-Wert. Aber zu einem y-Wert kann es mehrere x-Werte geben. Wenn eine waagerechte Asymptote z.B. gegen y =1 strebt, kann es durchaus einen endlichen x-Wert geben, für den f(x)=1 gilt, sodass die Asymptote dort geschnitten wird.
Bei deinem Beispiel:
Asymptote: y=1
f(x)=x²/(x-2)
f(1)=1
🤓
Die Anzahl der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der waagerechten Asymptote kann sogar gegen unendlich streben, siehe z.B. die Funktion:
f(x) = sin(x) / x
Die Zuordnung muss eindeutig sein, was hier der Fall ist.
Jedem Element der Definitionsmenge D wird genau ein Element der Wertemenge W zugeordnet.
Kann mir jemand erklären wieso das möglich ist ?
... weil eine waagerechte Asymptote nicht aus einer Nullstelle des Nenners (allgemeiner: nicht aus einer Definitionslücke der Funktion) entsteht, sondern aus dem Globalverhalten der Funktion.
x gegen ±∞ . Typische Aufgabenstellung zu dem Begriff: "Untersuchen Sie das Globalverhalten der Funktion". Damit ist dann gemeint, dass man die beiden Grenzwerte für x → + ∞ und x → - ∞ bestimmen soll (Hier ist der Grenzwert jeweils 1 und die Gleichung f(x) = 1 hat die Lösung x = 1 und darum schneidet der Graph die Asymptote)
was heißt Globalverhalten ?