Mathe beliebige Verschiebung der Normalparabel?
Das ist der Eintrag den meine Lehrerin geschrieben hat.
Was ist diese intelligente Null? was bringt die? woher kommen die beiden neunen? wie kommt man am ende auf +1? Ist es wegen -9+10? aber woher weiß man, dass man eine neun hinmachen muss? die darf man doch auch nicht einfach dazutun, ohne auch was anfres zu ändern?
4 Antworten
Hallo,
was ist diese intelligente null?
Wenn man zu einem Term 9 addiert und wieder 9 subtrahiert, hat man den Term ja nicht verändert.
was bringt die?
Es geht darum, einen quadratischen Term wie z.B. x² + 5x - 1 in der Form
x² + 10x - 1 = (x + c)² + d
zu schreiben, denn an dieser Form kann man den Scheitelpunkt S der dazugehörigen Parabel sofort ablesen: S hat die Koordinaten (-c|d).
Wie findet man die Zahlen c und d ?
Man nutzt eine der binomischen Formeln
(a+b)² = a² + 2ab + b² oder
(a-b)² = a² - 2ab + b²
"Rezept": man nehme den Anfang des Terms x² +10x.
Man dividiert die 10 durch 2
(10/2 = 5) und addiert und subtrahiert 5² = 25:
x² + 10x - 1 = x² + 10x + (25 - 25) - 1 = (x² + 10x + 25) - 25 - 1
Der Term in der Klammer rechts ist eine binomische Formel: es ist
(x² + 10x + 25) = (x + 5)²
also gilt
x² + 10x - 1 = (x + 5)² -25 - 1 = (x + 5)² - 26
Nun kann man die Koordinaten des Scheitelpunkt der Parabel p(x) = x²+10x-1
ablesen: sie lauten S(-5|-26).
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Genau das wurde mit dem Term x² - 6x + 10 gemacht.
Man dividiert -6 durch 2 : -6/2 = -3 , und addiert (-3)² = 9 und subtrahiert 9 wieder:
x² - 6x + 10 = (x² - 6x + 9) - 9 + 10
also hat man den Term nicht verändert.
Auf den Term rechts in der Klammer kann man nun eine binoische Formel anwenden: x² - 6x + 9 = (x - 3)² , also gilt
x² - 6x + 10 = (x² - 6x + 9) - 9 + 10 = (x - 3)² -9 + 10 = (x - 3)² + 1
Der Scheitelpunkt dieser quadratischen Funktion hat die Koordinaten (3|1).
Wenn du es nicht sofort verstehst, versuche nochmal, dich mit binomischen Formel zu befassen. Wenn du es verstanden hast, wird es dir im Nachhinein einfach vorkommen.
Gruß
Zu x² - 6x wird der Summand addiert, der erforderlich ist, um ein Binom zu erhalten.
x² - 6x + ... = (x - 3)²
In diesem Fall ist es 3² = 9
Wenn 9 einseitig addiert wird, muss gleichzeitig 9 subtrahiert werden, da es sonst keine Gleichung mehr wäre. +9 - 9 = 0
Da diese Vorgehensweise der Lösungsfindung dient, bezeichnet Deine Lehrerin sie als "intelligente Null".
Ja, und -9 + 10 ergibt 1.
Das hängt damit zusammen, dass beim Ausmultiplizieren eines Binoms (x+k)^2 der Term mit dem x immer den Faktor 2 bekommt, also x²+2kx+k². Setze hier mal k=b/2 ein, dann siehst du die Ähnlichkeit mit der Allgemeinform oben.
Der Trick mit der "intelligenten Null" besteht gerade darin, eine Zahl oder einen Term zu addieren und denselben dann wieder zu subtrahieren. Manche sagen auch "nahrhafte Null" dazu. Wie du siehst, kann man dann das grüne als Binom schreiben.
das nennt sich quadratische Ergänzung ("intelligente Null" habe ich noch nie gehört oder gelesen)
die 9 wird benötigt, damit man die binomische Formel anwenden kann. Sie wird addiert und gleich wieder subtrahiert, damit die Funktion gleich bleibt
die quadratische Ergänzung ist immer die Zahl vor dem x halbiert und dann quadriert. hier hat man -6x die quadr. Erg. ist (-6/2)² = 3² = 9
am besten suchst du im Web mal nach "quadratischer Ergänzung". Da gibts viele gute Seiten und Videos zum Thema