Wie kann man einen Logarithmus mit Bruch ohne Taschenrechner berechnen?
Hey Ihr :)
Ich muss für die Uni Aufgaben ohne Taschenrechner lösen und bin beim Logarithmus echt am verzweifeln.
Die beiden noch am leichtesten Aufgaben lauten:
a)b)c)d)
Ich hoffe hier kann mir jemand helfen!
Danke im Voraus, Liesel :)
4 Antworten
Bei a) musst du zuerst das in den Klammer ausrechnen. Das ergibt 1/36. 1/36 entspricht 6^-2. Also ist die Lösung für a) -2.
Im Wesentlichen geht es um Umformung und Logarithmengesetze. Ganz "zufällig" ist keine Aufgabe mit erweiterten notwendigen Kopfrechenkünsten dabei.
Hallo,
Aufgabe a ist doch einfach.
(1-35/6²)=1-35/36=1/36=1/6².
Womit mußt Du 6 potenzieren, um auf 1/36 zu kommen?
Natürlich mit -2, denn 6^(-2)=1/6^2=1/36.
Der gesuchte Sechserlogarithmus ist also -2.
Bei Aufgabe b ist 1/e^(-e)=e^e. Daher e^e/e^(-e)=e^e*e^e=(e^e)²=e^(2e).
Der natürliche Logarithmus von e^(2e) ist 2e, denn Du mußt e mit 2e potenzieren, um auf e^(2e) zu kommen.
Sieh Dir noch einmal die Potenz- und Logarithmengesetze sehr sorgfältig an.
Wenn Du in den Grundlagen nicht fit bist, überlebst Du das Studium nicht.
Herzliche Grüße,
Willy
Ja ich hatte mich verschrieben... Du meintest grad noch, dass ich das Studium nicht überleben werde, wenn ich die Grundlagen nicht kann. Genau aus dem Grund versuche ich momentan meine ganze Zeit in die Grundlagen zu stecken, damit das sitzt und ich es endlich wirklich verstehe
Dann mach unbedingt damit weiter. Übe zunächst an einfacheren Aufgaben, bis Du die Gesetze verinnerlicht hast, und geh dann zu den schwierigeren.
Du mußt auch die Körpergesetze beherrschen wie Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz, die Existenz der inversen und neutralen Elemente. Dazu auf jeden Fall die binomischen Formeln auch für höhere Exponenten als 2, die Wurzelgesetze, den Umgang mit Brüchen und das ganze Pipapo.
Du wirst sehr viel damit zu tun haben, etwas zu beweisen. Dazu mußt Du Termumformungen vornehmen. Für so etwas brauchst Du diese Gesetze.
Danke nochmal für die Zusammenfassung der Grundlagen! Ich werde mir das auf jedenfall alles zu Herzen nehmen und mein Bestes geben :)
Es gibt unter dem Stichwort Brückenkurs Mathematik diverse Bücher, die als Bindeglied zwischen Schul- und Unimathematik dienen. Hier werden noch einmal die wichtigen Grundlagen erklärt. Gut sind auch die Bände von Lothar Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Die sind noch nicht so theorielastig wie die Bücher für das Mathematikstudium und arbeiten mit durchgerechneten und gut erklärten Beispielen.
Das ist auch das Problem beim Matheunterricht in der Schule. Es wird viel zu wenig auf die grundlegenden Gesetze eingegangen. Stattdessen werden stur irgendwelche Aufgaben durchgerechnet mit vorgekauten Methoden.
Das Ergebnis ist dann, daß bei einer Aufgabe wie x²-4=0 nach der pq-Formel gerufen wird, nur weil darin ein x² auftaucht. Die Schüler scheitern daran, Gleichungen umzustellen, weil sie die Gesetze der Äquivalenzumformungen nicht begreifen. Du hast Probleme mit diesen Logarithmenaufgaben, weil Du Dir niemals richtig klargemacht hast bzw. es Dir niemals erklärt wurde, was ein Logarithmus eigentlich ist, nämlich nichts anderes als ein Exponent, der zu einer Potenz mit einer bestimmten Basis gehört. Potenz- und Logarithmengesetze sind engstens miteinander verwandt. Mach Dir vor allem klar, daß der Logarithmus einer Basis wie 10 oder 2 oder e oder welcher auch sonst zu einer Zahl nichts anderes als der Exponent ist, mit dem Du die Basis potenzieren mußt, um die Zahl zu erhalten.
So ist log 3 (9)=2, denn 3^2=9.
log 2 (1024)=10, denn 2^10=1024 usw.
Weil die Logarithmen den Potenzgesetzen unterliegen, lassen sich mit ihrer Hilfe Multiplikationen auf Additionen reduzieren, Divisionen auf Subtraktionen. Wurzeln kannst Du durch eine Division ersetzen, Potenzen durch eine Multiplikation. Dadurch, daß Du Logarithmen gleicher Basis verwendest, kannst Du ausnutzen, daß a^b*a^c=a^(b+c) ist usw., so daß Du eine Multiplikation durch die Addition der entsprechenden Logarithmen ersetzen kannst.
In den Zeiten, als es noch keine Taschenrechner gab, waren Logarithmentafeln das Mittel der Wahl, um so etwas wie 3,2^4,2 zu lösen.
Du hast einfach den Logarithmus (egal welchen) von 3,2 mit 4,2 multipliziert und dann nachgeschlagen, zu welcher Zahl dieser neue Logarithmus gehört.
Ich bin übrigens noch mit solchen Logarithmentafeln aufgewachsen.
Taschenrechner gab es noch nicht - und als es sie dann gab, waren sie anfangs unerschwinglich.
Krass, danke für die ausführliche Erklärung! Das mit der Schule ist leider wahr... Möglich auch ein Grund, weshalb ich es im Studium in Mathe nicht so gut schaffe und nicht hinterher komme. Auch in den Vorlesungen wird das alles nicht erklärt, wir sollen einfach nur rechnen oder es wird was vorgerechnet, aber nie gesagt, was genau da eigentlich passiert...
Dich als Mathelehrer zu haben wäre der größte Luxus :D
Ich hab tatsächlich noch nie von solchen Logarithmentafeln gehört :o Aber ja, Taschenrechner führen nunmal dazu, dass viele Studierende in Mathe Schwierigkeiten haben, weil niemand von selbst per Hand irgendwas rechnet. Eigentlich ziemlich schade, wenn man es verstanden hat, macht das per Hand sogar Spaß
Das werde ich mir auf jeden Fall merken mit dem Buch! Ich danke dir auf jeden Fall für deine Hilfe! Das hat mir den Abend gerettet :D
Das Schöne an den Logarithmentafeln war, daß sie nur die Nachkommastellen zeigten. Man mußte also schon per Überschlagsrechnung eine ungefähre Vorstellung davon haben, welche Größenordnung das Ergebnis hatte. Das war eine gute Übung fürs Kopfrechnen. Außerdem haben wir Quadrat- und Kubikzahlen auswendig gelernt, was sehr nützlich war - etwa für teilweises Wurzelziehen.
Sieh Dir bei YouTube mal Videos mit Christian Spannagel an. Wenn alle Dozenten so wären wie der, gäbe es nicht so viele Studienabbrecher in Mathematik.
Find ich echt mega interessant! Aber da das heute einfach nicht mehr so ist, werd ich mir erstmal eine Übersicht mit allen Gesetzen und Regeln erstellen und dann mit Aufgaben üben
Fang mit der Bruchrechnung an. Damit haben viele Probleme, vor allem bei der Addition und Subtraktion, denn da muß man einen gemeinsamen Nenner suchen.
Dazu frage Dich, wieso man so einen Bruch überhaupt erweitern darf, zum Beispiel aus 3/4 6/8 machen, indem man Zähler und Nenner mit 2 multipliziert.
Das hat etwas damit zu tun, daß die 1 das neutrale Element der Multiplikation ist.
Erweitern eines Bruches ist nichts anderes als eine Multiplikation mit 1 - da die 1 das neutrale Element ist, verändert sie dabei nichts.
Das werde ich :) Ich bin mir nicht sicher, ob du das heute noch liest, aber eine andere Person hatte mir leider nicht mehr geantwortet. Sie hatte die Lösung zur c) hochgeladen, aber keine Erklärung und nur mit dem Rechenweg verstehe ich das leider nicht...
Bei c mußt Du Dich fragen, womit Du 1/625 potenzieren mußt, um auf 5 zu kommen.
Es ist klar, daß das nur ein negativer Exponent sein kann, denn eine Zahl zwischen 0 und 1 kannst Du so oft mit sich selbst multiplizieren, wie Du möchtest und die noch sovielte Wurzel aus ihr ziehen - Du wirst niemals mehr als 1 herausbekommen, solange Du positive Exponenten nimmst.
Du überlegst also zunächst, wie Du von 1/625 auf den Kehrwert von 5, also auf 1/5 kommst. Wenn Du die Quadratzahlen auswendig gelernt hättest, wüßtest Du, daß 625=25 zum Quadrat ist und 25 wiederum gleich 5 zum Quadrat, so daß 625 genau 5^4 ist.
5 ist also die vierte Wurzel von 625, bzw. 625^(1/4)=5.
Entsprechend ist (1/625)^(1/4)=1/5.
Wenn Du das Vorzeichen des Exponenten wechselst, bekommst Du als Ergebnis immer den Kehrwert der Potenz heraus. Somit ist (1/625)^(-1/4)=5.
Der gesuchte Logarithmus ist also -1/4 oder -0,25.
Das hab ich soweit verstanden! Bin grad nur am überlegen, wie ich das als Rechenweg aufschreibe...
a)b)c) Bei der d) verstehe ich die Notation nicht. Da ist irgendwo ein Fehler drin.
Lg
Ihr seid wohl eher weniger blöd :D das war eher ich, die mit den ganzen Klammern durcheinander gekommen ist :o
Hallo, danke auf jeden Fall! Das ergibt für mich so auf jeden Fall Sinn. Allerdings hab Ichs nicht so mit Kopfrechnen und frage mich dabei noch warum 1-36/35 gleich 1/36 ist. Was passiert mit der 35?