Koordinate des Schnittpunkts der Geraden g mit der y-Achse berechnen?
Hallo, ich übe gerade noch Mathe. Habe jetzt allerdings eine Frage zu der unten aufgeführten Aufgabe b)....wie geht das, ich komme da nicht drauf. Also ich denke mal ich muss zunächst einmal eine Gerade aufstellen, wäre super, wenn mir jemand behilflich sein kann. Dankeschön ;)
5 Antworten
Schnittpunkt ist S (xS/yS)
bekannt ist xS = 0
S ( 0 / yS )
.
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Die Fläche 20 (F20) liegt zwischen (unter ) Gerade und f(x) : Die schraffierte , gesuchte
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F(20) = FGer - Ff(x)
.
Ff(x) kann man mit Int von 0 bis 2 bestimmen.
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FGer ist ein Trapez mit Fläche
(16 + yS)/2 * 2 ( die höhe )
.
Praktisch
FGer = ( 16+yS ) ( zwei Längen , trotzdem sind es Flächeneinheiten)
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Also gilt
20 = 16 + yS - ( int (fx) von 0 bis 2 )
.
.
20 = 16 +yS - ( ( -1/4 * x^4 + 6*x² ) von 0 bis 2 )
Obergrenze einsetzen , UGrenz fällt wegen 0 weg.
20 = 16 + yS - ( -1/4 * 16 + 6*4)
=
20 = 16 + yS - ( - 4 + 24 )
=
20 = 16 + yS - 20
20 - 16 + 20 = yS = +24
.
Probe : Fläche Trapez ist
(24+16)/2 * 2 = 40
Fläche unter f(x) ist 20
40-20 = 20 .......... passt
gesuchte Fläche=große Fläche minus kleine Fläche
A=Ag-Ak
Ag ist eine Trapezfläche
Ak ist die kleine Fläche unter dem Graphen f(x)=-1*x³-12*x
F(x)=∫(-1*x³+12*x)*dx=-1*∫x³*dx+12*∫x*dx
F(x)=-1/4*x⁴+6*x²+C
A=obere Grenze minus untere Grenze=F(xo)-F(xu) → xu=0 und xo=2
Ak=(-1/4*2⁴+6*2²)-(-1/4*0⁴+6*0²)=20
Ak=20 FE (Flächeneinheiten)
Gerade g(x)=m*x+b integriert
G(x)=1/2*m*x²+b*x+C mit xu=0 und xo=2 muss das Ag=40 FE ergeben
m=(y2-y1)/(x2-x1) → P2(x2/y2) → P2(2/16)
P1(0/b)
m=(16-b)/(2-0)=8-1/2*b
G(x)=1/2*(8-1/2*b)*x²-1/2*b*x+C
A=obere Grenze minus untere Grenze=G(xo)-G(xu) → xu=0 und xo=2
Ag=40=[(4-1/4*b)*2²-1/2*b*2]*(0)
40=... umgestellt nach b ergibt den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Den Rest schaffst du selber.
Prüfe auf Rechen-und Tippfehler.
Hinweis:Angenähert kannst du die Aufgabe auch zeichnerisch lösen
1) Gerade auf Millimterpapier zeichnen und dann die große Fläche (Trapezfläche) ausmessen.Die Genauigkeit ist da ca. +/- 2%
Hallo,
Deine Skizze ist schon mal goldrichtig.
Gesucht wird eine Gerade g(x)=mx+b, für die zwei Bedingungen gelten:
g(2)=16, denn Punkt H (2|16) soll auf dieser Geraden liegen.
Außerdem schließt sie mit der Funktion f(x)=-x³+12x zwischen x=0 und x=2 eine Fläche von 20 FE ein. Die Information, daß die Steigung der Geraden negativ ist, ist eigentlich überflüssig, denn das merkt man am Ende der Berechnung auch, ohne es vorher gewußt zu haben.
Allerdings wird so schon von Beginn an klar, daß es außer H im Intervall [0;2] keine weiteren Schnittpunkte zwischen der Geraden und der kubischen Funktion gibt.
Du fängst natürlich zuerst mit dem gegebenen Punkt H an, indem Du seine Koordinaten in die Geradengleichung einsetzt:
2m+b=16. Nach b aufgelöst ergibt das b=16-2m.
Dieser Ausdruck für b wird nun in die Gleichung der gesuchten Gerade eingesetzt, so daß als einzige Unbekannte m übrigbleibt:
g(x)=mx+16-2m.
Nun geht es an die Flächenberechnung.
Da die Gerade im zu untersuchenden Intervall oberhalb von f(x) verläuft, bilden wir die Differenzfunktion h(x)=g(x)-f(x)=mx-2m+16+x³-12x.
Die soll, wenn sie von 0 bis 2 integriert wird, eine Fläche von 20 FE ergeben.
Wir bilden die Stammfunktion H(x)=0,5mx²-2mx+16x+0,25x^4-6x² und bilden die Fläche H(2)-H(0). Da H(0) 0 ergibt, denn in jedem Term taucht eine Potenz von x als Faktor auf, kannst Du sofort H(2)=20 bilden. Dazu wird für jedes x der Stammfunktion eine 2 eingesetzt.
Du mußt die Differenzfunktion nicht h(x) nennen, sondern kannst ihr auch einen anderen Namen geben. Wichtig ist nur, daß man für die kubische Funktion, die Gerade und die Differenzfunktion zwischen beiden unterschiedliche Bezeichnungen benutzt, damit es nicht zu Verwechslungen kommt.
2m-4m+32+4-24=20
-2m=8
m=-4.
Da b=16-2m und m=-4:
b=16+8=24.
Die Geradengleichung lautet demnach g(x)=-4x+24, wobei 24 der gesuchte y-Achsenabschnitt ist.
Du mußt für die Funktion
g(x) = mx + b
zunächst m in Abhängigkeit von b so bestimmen das g_m(2) = 16.
Dann die Funktion
h(x) = g_m(x) - f(x)
formal (also in Abhängigkeit von m) von 0 bis 2 integrieren und m so bestimmen dass das Integral 20 ergibt. Dann mittels dieses m b bestimmen, das ist genau der gesuchte Wert für den y-Achsenabschnitt.
Die Aufgabe ist durchaus kompliziert.
ich auch nicht :) mach dir nix draus .........aber ich weiß auch nicht , ob ihr nicht die Versionen von 'DerRoll und Willy1729 kennen müsst.
Meine ist eher etwas handwerklicher ,nicht so abtrakt und echt mathematisch.
Kompliziert vor allem , weil da Teufel Trapez mit den Hufen kratzt :)) wie war noch mal die Flächenformel dafür ? m*h/2 oder nur m*h ?
ja , so wie du das machst nicht . .
dafür verstehe ich den ersten Teil bei dir auch nicht
Du mußt für die Funktion g(x) = mx + b
zunächst m in Abhängigkeit von b so bestimmen das g_m(2) = 16..
.
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16 = m*2 + b
heißt das bloß
b (also die Integrationsgrenze ) ist
= 16 - 2m ?
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Und dann weiter wie beschrieben ?
.
Und dann von
16-2m bis 2 integrieren ?
nein, h(x) = mx + 16 - 2m - f(x) von 0 bis 2 integrieren. Das hängt von m ab und dann wird das Ergebnis = 20 gesetzt und nach m aufgelöst.
Weiß ich nicht, darüber hat uns der Fragesteller im Unklaren gelassen. Meine Tochter macht gerade die Fachhochschulreife, da kommt so was noch nicht dran. Schauen wir mal was nächstes Jahr noch dazu kommt.
Ich habe lediglich geschrieben wie ich an die Frage heran gehen würde.
wieso gehst du davon aus, dass g eine Tangente an f sein soll?
Wegen der negativen Steigung kann man nur davon ausgehen, daß H im Bereich zwischen x=0 und x=2 der einzige Schnittpunkt zwischen der Kurve und der Geraden ist. Eine Tangente an H müßte darüber hinaus eine Steigung von 0 besitzen, da H ein Hochpunkt ist.
Das verstehe ich so nicht