Ebenengleichung aus 2 in ihr liegenden Geraden aufstellen?
Guten Tag,
ich schreibe demnächst eine Mathe Klausur und ein Wiederholungsthema sind Ebenen. Dabei soll ich ganz speziofisch nur das hier können:
"Auftsellen der Ebenengleichung bei Vorgabe zweier Geraden, die in dieser Ebene liegen sollen"
Wie genau macht man das? Ich weiß auf welche Weisen man eine Ebene aufstellen kann, jedoch weiß ich nicht, wie ich die Bedingung, der 2 in ihr liegenden Geraden erfüllen soll.
Danke schonmal im Voraus.
Grüße Alex
4 Antworten
Damit das machbar ist, dürfen die beiden Geraden nicht Windschief (da es dann unmöglich ist) und sie dürfen nicht identisch sein (da es dann keine eindeutige Ebene gibt)
Du musst nun 2 Fälle betrachten:
Fall 1: die Geraden schneiden sich an einem Punkt.
Dann nutzt du einen der beiden Aufpunkte der Geraden als Aufpunkt der Ebene (oder einen anderen beliebigen Punkt der beiden Geraden) und die beiden Richtungsvektoren der Geraden sind dann die Richtungsvektoren der Ebene.
Fall 2: die Geraden sind parallel:
Du wählst wieder eine. beliebigen Punkt der beiden Geraden als Aufpunkt. Als rochtingsvektor nutzt du dann einen der beiden Richtungsvektoren der Geraden (der andere Richtungsvektor ist kollinear, weswegen du ihn nicht als zweiten Richtungsvektor der Ebene nutzen darfst). Für den zweiten Richtungsvektor nimmst du dann von jeder Gerade einen Punkt (zB die Aufpunkte) und wählst dann die Differenz der Punkte als Richtungsvektor.
Alternativ kannst du auch von der ersten Gerade zwei unterschiedliche Punkte auswählen, und von der zweiten gerade einen Punkt der unterschiedlich zu den beiden anderen Punkten ist. Dann bildest du die Ebene die durch diese Drei Punkte geht. Dafür brauchst du dann keine Fallunterscheidung, es muss aber trotzdem wieder gelten, dass die Geraden nicht identisch sind und dass sie nicht windschief sind.
Zuerst einmal musst Du prüfen, ob die Geraden überhaupt in einer Ebene liegen (können), d. h. sie dürfen nicht windschief sein (natürlich auch nicht identisch, denn dann gibt es keine eindeutige Ebene, sondern unendlich viele...).
Dazu prüfst Du erst einmal, ob die Richtungsvektoren voneinander unabhängig sind (also keine Vielfachen voneinander sind). Sind sie unabhängig, dann muss es einen Schnittpunkt geben. Gibt es einen, dann nimmst Du diesen oder einen der Ortsvektoren der Geraden als Stützvektor, und die beiden Richtungsvektoren der Geraden als Spannvektoren.
Sind die Geraden parallel, dann musst Du den nötigen zweiten Spannvektor noch bestimmen. Dieser ist einfach die Differenz der beiden Ortsvektoren. Die Ebene bildet sich dann aus einem der beiden Ortsvektoren und als Spannvektoren einen der beiden Richtungsvektoren (wenn sie abhängig voneinander sind, zeigen sie ja in dieselbe Richtung) und diesem "Differenzvektor".
Hallo,
wenn sicher ist, dass die Geraden in einer Ebene liegen, kannst du eine der Geradengleichungen einfach um den anderen Richtungsvektor ergänzen.
g1: x=a + ru
g2: x=b + sv
E: x= a + ru + sv
🤓
x,a,b,u und v sind Vektoren,
r und s Skalare.
kommt drauf an, ob die Geraden parallel sind oder sich schneiden; guck mal
Das funktioniert nicht wenn g1 und g2 parallel sind