Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und C die Ebene E aufspannen.?
In der Aufgabe sind die Punkte A(5|5|5), B(6|4|5) und C(5|8|2) und die Ebene E mit x + y + z = 15 gegeben. Dazu gehört die obige Aufgabenstellung.
Es wäre verlangt, die Punkte A, B und C in E einzusetzen, und damit zu zeigen, dass sie auf der Ebene liegen. Außerdem müsste man zeigen, dass A, B und C nicht auf einer Geraden liegen.
Könnte man alternativ auch einfach die Ebenengleichung der Ebene, die durch A, B und C verläuft, aufstellen und zeigen, dass dabei die Ebene von oben rauskommt? Wäre das ok?
8 Antworten
Die Ebenengleichung ist bereits gegeben, und die Punkte A,B,C liegen auf der Ebene E, weil sie die Ebenengleichung erfüllen.
Dann muss noch bewiesen werden, dass die 3 Vektoren A,B,C linear unabhängig sind (nicht auf einer Geraden liegen).
Wären sie linear abhängig, müsste es r1,r2,r3 != 0 geben mit
r1*A + 2*B + r3*C = 0
(1) 5r1 + 6r2 + 5r3 = 0
(2) 5r1 + 4r2 + 8r3 = 0
(3) 5r1 + 5r2 + 2r3 = 0
(1)-(3) r2 + 3r3 = 0
(3)-(2) r2 - 6r3 = 0
-> r3 = 0, r2 = 0
und damit r1 = 0, also linear unabhängig, somit spannen sie die Ebene E auf.
Wäre ok, du musst bei dem Weg aber vorsichtig sein. Es muss nicht zwangsläufig die selbe Ebene wie oben rauskommen, wenn du mit A, B und C eine Ebene aufspannst.
Wenn A, B und C beispielsweise auf einer Geraden liegen, gibt es unendlich viele Ebenen die A, B und C beinhalten UND nur die selbe Schnittgerade zur obigen Ebene haben, aber NICHT gleich sind.
Selbstverständlich kannst Du aus A, B und C auch eine eigene Ebenengleichung aufstellen. Falls die Punkte auf einer Geraden liegen, sollte sich eigentlich keine Koordinatenform aufstellen lassen (die Bestimmung eines Normalenvektors müsste scheitern.)
Erhältst Du dieselbe oder eine äquivalente Gleichung, sind die Ebenen identisch.
Zur Überprüfung, ob A, B und C auf einer Geraden liegen, kannst Du auch die Vektoren AB und AC betrachten. Sind sie kollinear (Vielfache voneinander), liegen ABC auf einer Geraden und spannen keine Ebene auf.
Wenn man die Kordinaten der Punkte addiert, kommt immer 15 heraus.
Das reicht eigentlich schon, um festzustellen, dass die Punkte A, B und C auf der Ebene liegen.
Nur dürfen sie eben nicht auf einer Geraden liegen.
<AB> = < 6 - 5 ; 4 - 5 ; 2 - 5 > = < 1 ; -1 ; -3 >
Damit ist die Gerade, auf der <AB> liegt: < 5 ; 5 ; 5 > + r * < 1 ; -1 ; -3 >
Das würde für die x-Zeile bedeuten: 5 + r = 5 also r = 0
y-Zeile 5 - 0 = 4 W!
Das ist ein Widerspruch. C liegt also nicht auf <AB>.
Folglich kann man die drei Punkte verwenden, um die Ebene in einer Parameterdrastellung zu beschreiben.
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Jeder hat so seinen Weg ...
Hallo,
wenn die drei Punkte auf einer Geraden liegen würden, wären sie linear abhängig und die Determinante der Matrix aus ihren Ortsvektoren wäre Null.
5 6 5
5 4 8
5 5 2
aber hat - wie nach der Sarrus-Regel leicht feststellbar ist, eine Determinante von 45.
Die drei Ortsvektoren sind nicht linear abhängig und die drei Punkte spannen tatsächlich eine Ebene auf.
Herzliche Grüße,
Willy