Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und C die Ebene E aufspannen.?

8 Antworten

Wenn man die Kordinaten der Punkte addiert, kommt immer 15 heraus.
Das reicht eigentlich schon, um festzustellen, dass die Punkte A, B und C auf der Ebene liegen.

Nur dürfen sie eben nicht auf einer Geraden liegen.

<AB> = < 6 - 5 ; 4 - 5 ; 2 - 5 >  =  < 1 ; -1 ; -3 >
Damit ist die Gerade, auf der <AB> liegt:     < 5 ; 5 ; 5 > + r * < 1 ; -1 ; -3 >

Das würde für die x-Zeile bedeuten:  5 + r = 5       also r = 0     
                           y-Zeile                  5 - 0 = 4       W!

Das ist ein Widerspruch. C liegt also nicht auf <AB>.

Folglich kann man die drei Punkte verwenden, um die Ebene in einer Parameterdrastellung zu beschreiben.

---

Jeder hat so seinen Weg ...

Hallo,

wenn die drei Punkte auf einer Geraden liegen würden, wären sie linear abhängig und die Determinante der Matrix aus ihren Ortsvektoren wäre Null.

5 6 5
5 4 8
5 5 2

aber hat - wie nach der Sarrus-Regel leicht feststellbar ist, eine Determinante von 45.

Die drei Ortsvektoren sind nicht linear abhängig und die drei Punkte spannen tatsächlich eine Ebene auf.

Herzliche Grüße,

Willy

Die Ebenengleichung ist bereits gegeben, und die Punkte A,B,C liegen auf der Ebene E, weil sie die Ebenengleichung erfüllen.

Dann muss noch bewiesen werden, dass die 3 Vektoren A,B,C linear unabhängig sind (nicht auf einer Geraden liegen).

Wären sie linear abhängig, müsste es r1,r2,r3 != 0 geben mit

r1*A + 2*B + r3*C = 0

(1) 5r1 + 6r2 + 5r3 = 0
(2) 5r1 + 4r2 + 8r3 = 0
(3) 5r1 + 5r2 + 2r3 = 0

(1)-(3) r2 + 3r3 = 0
(3)-(2) r2 - 6r3 = 0

-> r3 = 0, r2 = 0
und damit r1 = 0, also linear unabhängig, somit spannen sie die Ebene E auf.

Gleichung der Ebene und Parameterform von Geraden gesucht?!

hallöchen:)

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