Ebenengleichung für ein Parallelogramm
Hey zusammen,
ich komme gerade nicht weiter bei den Hausaufgaben. Ich soll prüfen, ob ein Punkt im Parallelogramm ABCD liegt. Allerdings weiß ich nicht, wie ich zu einem Parallelogramm eine Ebenengleichung aufstellen soll. Bisher hatte man immer nur die Ebenengleichung: x= OA + r * AB + s * AC Nun habe ich aber noch den Punkt D! Muss ich den in die Ebenengleich irgendwie mit einbeziehen? Die Punkte sind: A(1/2/0), B(-1/8/1), C(-4/2/2), D(-2/-4/1). Und dann eine weitere Frage: Nachdem ich also die Ebenengleichung habe, setze ich den Punkt gleich mit der Gleichung. Welche Bedingungen müssen denn erfüllt werden, damit ich weiß, dass der Punkt auch im Parallelogramm liegt?
Danke im Vorraus!
Liebe/r Patze111,
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3 Antworten
Anhand drei der Punkte stellst du die Ebenengleichung auf. Als Stützvektor würde ich der Einfachheit wegen OA nehmen und als Spannvektoren AB und AD. Nun schaust du erstmal, ob der Punkt P auf deiner Ebene liegt - dazu setzt du OP in die Gleichung ein und schaust, ob das passt. Falls ja, geht es als nächstes um den Vektor AP. Dieser muss mit den Spannvektoren mir folgenden Parametern darstellbar sein: 0=<Parameter=<1.
Warum? Negativ kann er nicht sein, dann wärst außerhalb deines Parallelogramms. Sobald er größer wird als AC, wäre er es auch. AC lässt sich durch AB+AD darstellen, die Parameter sind also beides mal 1. Zeichne es dir am besten auf, dann siehst du es am besten!
Eine Ebene ist durch 3 Punkte eindeutig definiert. Das heißt du nimmst dir von deinen 4 Punkten 3 raus und stellst damit die Ebenengleichung auf.
mit ABC bekommst du eine Ebene; aber du sollst ja zeigen, dass der Punkt im Parallelogramm ABCD liegt; vielleicht über Abstand P zu AB kleiner als AB zu CD und P zu AD kleiner BC