Wie geht ein Beweis bei einem Parallelogramm?
Ich soll beweisen, dass ein Parallelogramm, bei dem die beiden Diagonalen gleich lang sind, ein Rechteck ist. Dazu muss man ja Voraussetzung, Behauptung und Beweis aufstellen. Eine Voraussetzung unter anderem ist ja, dass die beiden Diagonalen gleich lang sind, also Betrag Vektor AC gleich Betrag Vektor DB. Ist eine Voraussetzung auch, dass sich die Diagonalen bei einem Parallelogramm generell halbieren?
Es soll Mithilfe von Vektoren bewiesen werden
4 Antworten
Sei das Parallelogramm wie auf https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogramm beschriftet.
Annahme: Es wäre kein Rechteck. Dann ist kein Winkel genau 90°(Da wenn ein Winkel 90° der ggü. liegende auch 90° wäre und wegen der Winkelsumme die beiden anderen dann auch jeweils). Dann folgt mit der Parallelogrammgleichung und der Gleichheit (Länge) der Diagonale, dass
Also ist e^2=a^2+b^2 und damit der Winkel zwischen a und b wegen Pythagoras = 90° im Widerspruch zur Annahme. Also ist es ein Rechteck.
Grüße
Zur Voraussetzung: Gegeben ist ein Parallelogramm für das gilt AC = DB.
Das mit dem halbieren kann man dann schreiben, wenn man es braucht und daraus folgern, dass das Parallelogramm gegeben ist. Das folgt ja direkt aus den Eigenschaften eines Parallelogramms.
Behauptung: Ein Parallelogramm, bei dem die Diagonalen gleich lang sind, ist ein Rechteck.
Das gilt für jedes Parallelogramm. Wenn es wirklich ansonsten gleich ist, musst du nur diesen Schritt noch einfügen und den Rest kannst du übernehmen. Lies vielleicht nochmal nach, klingt irgendwie zu einfach :D
Mit analytischer Geometrie geht das.
Seien die Eckpunkte
A = (0; 0)
B = (d; 0)
C = (d+e; h)
D = (e; h)
(bitte aufzeichen, dann sieht man, warum)
Mit d > 0 und h > 0
(e kann positiv, negativ oder 0 sein)
Die Diagonalen AC und BD sollen gleich lang sein:
(d+e)² + h² = (d-e)² + h²
d² + 2*d*e + e² + h² = d² - 2*d*e + e² + h²
Daraus folgt d * e = 0.
Wegen d > 0 ist e = 0
Also:
A = (0; 0)
B = (d; 0)
C = (d; h)
D = (0; h)
ist offensichtlich ein Rechteck mit den Kantenlängen d und h.
Dass die Diagonalen sich halbieren, wird nicht aus Vorraussetzung gebraucht.
Mit reiner Vektorrechnung geht das auch.
Seien AB, AC, AD, BC und BD Vektoren.
(Ich habe jetzt keine Lust, mit dem Formeleditor Pfeile drüber zu malen.)
Dann ist eine Diagonale BD = AD - AB
und die andere AC = AB + BC = AB + AD
Die Diagonalen jeweils skalar mit sich selbst multipliziert:
BD * BD = (AD - AB) * (AD - AB)
AC * AC = (AB + AD) * (AB + AD)
Wenn DB und AC gleich lang sind, dann ist
BD * BD = AC * AC
also
(AD - AB) * (AD - AB) = (AB + AD) * (AB + AD)
Skalar ausmultipliziert:
AD * AD - 2 * AD * AB + AB * AB = AB * AB + 2 * AB * AD + AD * AD
- 2 * AB * AD = 2 * AB * AD
Daraus folgt AB * AD = 0
Die Vektoren AB und AD stehen also senkrecht aufeinander.
Parallelogramm
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm in dem die Winkel der aufeinandertreffenden Seiten 90 Grad beträgt.
Wir hatten eine Aufgabe, die sonst die gleiche war, aber jetzt steht nicht mehr dass die diagonalen sich halbieren...