Komplizierte Definitionsmenge?
Hallo,
kann mir bitte jemand Schritt für Schritt erklären wie ich hier auf die Definitionsmengen komme?
Vielen Dank im Voraus!
3 Antworten
Hallo,
das Argument des ln muß größer als Null sein, sonst ist die Funktion nicht definiert.
Bei der ersten Aufgabe gilt also die Ungleichung 1/(x-2)+1>0 zu lösen.
Da der Bruch für x=2 nicht definiert ist, für x>2 positiv und für x<2 negativ ist, muß hier eine Fallunterscheidung gemacht werden.
x=2 fällt aus, weil sonst durch 0 dividiert würde.
Falls x>2, gilt:
1/(x-2)+1>0 |-1
1/(x-2)>-1 |*(x-2)
1>-(x-2), also 1>2-x |+x-1
x>1. Da diese Rechnung aber nur gilt, falls x>2, gilt als Lösungsmenge für diesen Bereich x>2.
Nun der Fall x<2:
1/(x-2)+1>0 |-1
1/(x-2)>-1 |*(x-2)
1<-(x-2), also 1<2-x.
Da im Bereich x<2 der Term x-2 negativ wird, dreht sich das Ungleichheitszeichen bei der Multiplikation mit (x-2) um .
Aus 1<2-x folgt x<1.
Da es hier um den Bereich x<2 geht, paßt x<1 hinein.
Hier gilt als Lösungsmenge also x<1.
Damit ist die Funktion definiert, falls x kleiner als 1 ist oder falls x größer als 2 ist.
Im Intervall [1;2] ist die Funktion nicht definiert.
Herzliche Grüße,
Willy
Natürlich hat der Klammerterm nur Sinn, wenn x ungleich 2 ist. Dann aber gilt:
1/(x-2) + 1 = 1/(x-2) + (x-2)/(x-2) = (x-1)/(x-2)
Ist der Zähler negativ (also x-1 < 0), so erst recht der Nenner ebenfalls, also der Bruch positiv.
Ist der Nenner positiv (also x-2 > 0), so erst recht der Zähler ebenfalls, also der Bruch positiv.
Gilt aber 1 <= x < 2 (das ist der übrigbleibende Fall), so ist der Nenner negativ, der Zähler jedoch nicht. Also ist dann der Bruch nicht positiv.
Folglich ist der Klammerterm genau dann positiv, wenn x nicht im Intervall [1,2] liegt.
(Um das als Antwort auf die Frage zu verstehen, muss man natürlich wissen, dass der Definitionsbereich von ln die Menge der positiven reellen Zahlen ist.)
Sieh einfach mal unter den Bruchstrich. Wenn dort eine 0 steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle nicht definiert. Außerdem ist die Funktion nicht definiert, wenn der Inhalt der Klammer ≤0.