Kann mir wer bei einer einfachen Matheaufgabe helfen?
2 Antworten
ln|1/x| ist eine Konstante und für Konvergenzbetrachtungen daher irrelevant. Der arctan ist beschränkt durch 1. die Exponentialfunktion wächst auch im Komplexen betragsmäßig schneller als jede Potenzfunktion. Die Reihe divergiert daher.
Hach, meine Schwäche bei komplexen Zahlen. Dann wäre die Reihe konvergent.
Hallo, Toastbrot886
Ich helfe gerne bei einfachen Rechnungen.
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
Betrachten wir den Term \frac{e^{in \cdot \ln|\frac{1}{x}|}}{\pi n^2}.
Wir wissen, dass e^{\ln(y)} = y. Daher gilt e^{in \cdot \ln|\frac{1}{x}|} = (e^{\ln|\frac{1}{x}|})^{in} = |\frac{1}{x}|^{in} = (\frac{1}{|x|})^{in}.
Da |x| eine Konstante bezüglich der Summation über n ist, können wir |\frac{1}{x}|^i = e^{i \ln|\frac{1}{x}|} setzen. Somit ist (\frac{1}{|x|})^{in} = (e^{i \ln|\frac{1}{x}|})^n = e^{in \ln|\frac{1}{x}|} = \cos(n \ln|\frac{1}{x}|) + i \sin(n \ln|\frac{1}{x}|).
Betrachten des \arctan-Terms:
Der Term \arctan(n \sqrt{\pi}) geht für n \to \infty gegen \frac{\pi}{2}, da das Argument n \sqrt{\pi} gegen +\infty strebt und \lim_{y \to \infty} \arctan(y) = \frac{\pi}{2} gilt.
Die Summe ist also:
\lim_{a \to \infty} \sum_{n=1}^{a} \frac{e^{in \cdot \ln|\frac{1}{x}|}}{\pi n^2} \cdot \arctan(n \sqrt{\pi})
* Wir können den \arctan-Term für große n durch \frac{\pi}{2} approximieren.
LG
Das hat ChatGPT aber schön formuliert. Leider war es nicht in der Lage die LaTex-Ausdrücke auch in LaTeX Ausgabe zu übersetzen.
War sicher bewusst, um auch eine Eigenleistung des Fragestellers zu ermöglichen...
| e^(in) | = 1