Hallo, Toastbrot886
Ich helfe gerne bei einfachen Rechnungen.
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
Betrachten wir den Term \frac{e^{in \cdot \ln|\frac{1}{x}|}}{\pi n^2}.
Wir wissen, dass e^{\ln(y)} = y. Daher gilt e^{in \cdot \ln|\frac{1}{x}|} = (e^{\ln|\frac{1}{x}|})^{in} = |\frac{1}{x}|^{in} = (\frac{1}{|x|})^{in}.
Da |x| eine Konstante bezüglich der Summation über n ist, können wir |\frac{1}{x}|^i = e^{i \ln|\frac{1}{x}|} setzen. Somit ist (\frac{1}{|x|})^{in} = (e^{i \ln|\frac{1}{x}|})^n = e^{in \ln|\frac{1}{x}|} = \cos(n \ln|\frac{1}{x}|) + i \sin(n \ln|\frac{1}{x}|).
Betrachten des \arctan-Terms:
Der Term \arctan(n \sqrt{\pi}) geht für n \to \infty gegen \frac{\pi}{2}, da das Argument n \sqrt{\pi} gegen +\infty strebt und \lim_{y \to \infty} \arctan(y) = \frac{\pi}{2} gilt.
Die Summe ist also:
\lim_{a \to \infty} \sum_{n=1}^{a} \frac{e^{in \cdot \ln|\frac{1}{x}|}}{\pi n^2} \cdot \arctan(n \sqrt{\pi})
* Wir können den \arctan-Term für große n durch \frac{\pi}{2} approximieren.
LG