Kann mir jemand helfen diese mathematische Aufgabe zu lösen?
Hallo,
ich besuche momentan einen Vorbereitungskurs im Fach Mathematik und komme bei der folgenden Aufgabe einfach nicht auf die Lösung bzw einen Ansatz an diese Aufgabe heranzugehen.
„Argumentieren Sie (schriftsprachlich, gerne mit Termen / Gleichungen im Text) für oder gegen folgende Aussage (erwartet werden mindestens 75 Wörter):
Die Zahl 6 teilt immer das Produkt dreier natürlicher Zahlen, wenn es sich um zwei aufeinanderfolgende Zahlen und deren Summe handelt.“
Vielleicht kann mir jemand erklären was genau hier gewollt ist &wie ich diese Aussage beurteilen sollte.
Danke schonmal im Voraus!
Liebe Grüße
5 Antworten
Zwei aufeinander Folgende Zahlen: n, n+1
Die Summe: 2n+1
Somit ist das Produkt: n*(n+1)*(2n+1)
Du musst nun begründen ob das Produkt durch 6 teilbar ist. Dafür reicht es zu begründen, dass es durch 2 und durch 3 Teilbar ist.
(Durch 2 müsste einfach sein, durch 3 könnte etwas komplizierter sein)
Das hilft hier überhaupt nicht
Ich weiß schon wie man das löst, mit komplizierter meine ich nur, dass man das nicht im ersten Blick sehen kann
also aus x aus |N folgt, dass x*(x+1)*(x+x+1) durch 6 teilbar ist?
ich schätze du fängst mit x=1 an, machst mit x=2 weiter und wenn du nur weiter machst wirst du irgendwann recht leicht eine Regel finden weshalb das immer so ist egal wie groß x ist.
Hallo,
mach's über die vollständige Induktion und ziehe für den Induktionsschluß
n*(n+1)*(2n+1) von (n+1)*(n+2)*(2n+3) ab. Multipliziere dazu zunächst beide Terme aus.
Danach läßt sich leicht zeigen, daß die Differenz durch 6 teilbar ist.
Herzliche Grüße,
Willy
Moin,
Zunächst einmal könnten wir uns dazu eine Gleichung aufstellen. Es soll für eine beliebige natürliche Zahl gelten. Nennen wir sie n.
Und das Produkt aus n, ihrem Nachfolger und der Summe der beiden. Also:
n*(n+1)*(n+(n+1)) = (n^2+n)*(2n+1)= 2n^3 + 3n^2 +n
Und dieser Term soll nun durch 6 teilbar sein. Wie andere schon angemerkt haben, reicht es zu zeigen, dass einer dieser Terme durch zwei und drei teilbar ist. (Je nachdem, bei welchem es einfacher fällt.)
Alternativ wäre auch ein Beweis via vollständiger Induktion möglich, wenn ihr das schon hattet.
Behauptung: m := n*(n+1)*(2n+1) ist durch 6 teilbar fur n aus N.
Das ist genau dann der Fall, wenn m durch 2 und durch 3 teilbar ist.
m ist durch 2 teilbar:
Entweder ist n eine gerade Zahl, dann ist n durch 2 teilbar.
Oder es ist n eine ungerade Zahl, dann ist n+1 durch 2 teilbar.
m ist durch 3 teilbar:
Wenn n durch 3 teilbar ist, bist du fertig.
Wenn n mit Rest 1 durch drei teilbar ist, d.h, n = 3*s + 1, dann hast du im letzten Faktor von m
2*n + 1 = 2 * (3 * s + 1) + 1 = 6*s + 3,
und das ist durch drei teilbar.
Wenn n mit dem Rest 2 durch drei teilbar ist, d.h. n = 3*s + 2, dann hast du im zweiten Faktor von m
n + 1 = 3*s + 3,
und das ist auch durch drei teilbar.
Also ist n*(n+1)*(2n+1) für alle natürlichen Zahlen n durch 6 teilbar.
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist.