Kann mir jemand erklären, bzw. zeigen wie ich die Ableitung zu dieser Funktion bilden kann?
Ich sitze schon seit 1 Stunde an diesem Brocken und komme einfach nicht weiter.
Mein Ansatz was bis jetzt:
u=(23+20t) v=e^(-1/10*t)
u'=20 v'=e^(-1/10*t)*(-1/10)
f'(x)=20*e^(-1/10*t)+(23+20t)*e^(-1/10*t)*(-1/10)
Jedoch komme ich nicht auf das richtige Ergebnis :(
Was muss ich anders machen oder verbessern?
3 Antworten
Hallo,
die 23 ist eine Konstante, die nicht zu einer Variablen gehört.
Sie verschiebt die Funktion lediglich in y-Richtung, ändert aber nichts an der Form des Graphen, deswegen verschwindet sie beim Ableiten ersatzlos.
Ein konstanter Faktor vor einer Variablen dagegen wird unverändert übernommen, die 20 bleibt also auf jeden Fall erhalten.
Du hast es mit einem Produkt zweier Funktionen u und v zu tun:
u(t)=20t und v(t)=e^((-1/10)t)
Hier gilt also die Produktregel (u*v)'=u'*v+u*v'.
Mach Dir eine Liste bei solchen Aufgaben:
u=20t, u'=20
v=e^((-1/10)t), v'=(-1/10)*e^((-1/10)t)
v ist eine verkette Funktion, in der die Funktion e^t nicht einfach t als Exponenten hat, sondern die Funktion w(t)=(-1/10)t
Solche Funktionen werden abgeleitet, indem man zunächst so tut, als sei die innere Funktion w eine ganz normale Variable wie t.
Da die Ableitung von e^t auch e^t ist, wäre die Ableitung von e^((-1/10)t) zunächst auch e^((-1/10)t). Zusätzlich muß diese dann aber noch mit der inneren Ableitung w', also -1/10, multipliziert werden. Das nennt man Kettenregel:
v(w(t))'=v'(w(t))*w'(t)
So kommst Du auf die Ableitung von v=e^((-1/10)t):
v'=(-1/10)*e^((-1/10)t)
Nun baust Du alles zu u'v+uv' zusammen:
20*e^((-1/10)t)+20t*(-1/10)*e^((-1/10)t)
Da 20*e^((-1/10t) als Faktor in beiden Termen der Summe vorkommt, kannst Du ihn ausklammern:
f'(t)=20*e^((-1/10)t)*(1+t*(-1/10)=
20*e^((-1/10)t)*(1-(1/10)t)
Herzliche Grüße,
Willy
Ohne die Klammer bei (-1/10)t wird nicht klar, ob t zum Nenner oder zum Zähler gehört.
Da ich hier keine Bruchstriche setzen kann oder Exponenten hochstellen kann, muß ich eben mit Klammern arbeiten.
23 fällt weg (da konst. → Steigung 0)
Produktregel: (uv)'=u'v+uv' (u=20t; v=e^...)
Anschließend Kettenregel für e^... anwenden
- also dein u ist doch falsch, weil u·v nicht f(t) ergibt...
- gibt es nich ne „Summen“-Regel?
- und ne Produkt-Regel?
- und ne Schachtel-Regel (oder so)? Ketten-Regel mein ich... LOL
Hinter dem letzten f'(t) fehlt am Ende der Zeile noch eine ) vor dem =.
Warum muss man in einem Produkt einen Bruch nochmal einklammern? Das wirkt noch unübersichtlicher als ohnehin schon ...
f'(t) = 20 • e^(-1/10 t) • (1 - 1/10 t)
... oder ...
= 20 e^(-t / 10) (1 - t / 10)
Wer als Schüler derart komplizierte Aufgaben meistert, sollte mit mathematischen Grundregeln doch nicht überfordert sein (-;