Unendlichkeitsverhalten und Ableitung von e-Funktionen HILFE
Hallo zusammen,
ich komme leider beim Mathe lernen einfach nicht weiter. Ich mache mein Abitur auf der Abendschule und muss mir deshalb viel selbst beibringen. Bitte um Hilfe:
1.) Untersuchen Sie das Unendlichkeitsverhalten von f(x)=2x*e hoch -4x²
Wofür dient das Unendlichkeitsverhalten? Wie sieht die Grundformel dafür aus. Wie gehe ich bei so einer Aufgabe vor (Lösungsweg)?
2.) Bei den Ableitungen habe ich wahnsinnige Probleme. Zwar verstehe ich Produkt und Kettenregel in der Theorie aber ich komme trotzdem selten zum richtigen Ergebnis :-( Über eine ausführlich Erklärung über Ableitungen bei einer e-Funktion würde ich mich sehr freuen. Vielleicht auch anhand anderer Beispiele.
f(x)= 2xe hoch -4x² die erste Ableitung ist nach Musterlösung f´(x)=(2-16x²)e hoch -4x²
Ich habe aber etwas ganz anderes raus. Wie funktioniert beispielsweise hier die Ableitung der e-Funktion???
Ich schreibe zwar erst am Montag Klausur aber habe bis dahin leider kein Mathe mehr :-( Vielen Dank im Voraus
3 Antworten
ableitung: f'(u*v) = u'v + uv'
=>
f'(x)=2e^(-4x^2) + 2x * e^(-4x^2) * -8x
f'(x)=2e^(-4x^2) - 16x * e^(-4x^2)
f'(x)=(2-16x)*e^(-4x^2)
nachdifferenzieren des exponenten nicht vergessen
Oje, das sind viele Fragen auf einmal.....
1.) Das Verhalten von Funktionen gegen unendlich ist hilfreich, um sich ein Bild der Funktion zu machen. In der mathematischen Modellbildung ist es z.B. wichtig, um z.b. vorher zu sagen, was für ein Zustand sich irgendwann einstellt. Rechnerisch untersucht man, was passiert wenn hier x immer größer wird.
2x läuft linear gegen unendlich, e^(-4x²) läuft aber wesentlich stärker gegen 0. Somit geht die ganze Funktion gegen 0, wenn x immer größer wird.
Bei der Grenzwertbetrachtung hier hilft Dir der Satz von L'Hospital weiter.
2.) Allgemein:
e^x differenziert gibt wieder e^x. Die Kettenregel sagt, dass e^(ax) differenziert a* e^(ax) gibt.
Die Funktion hier:
Jetzt wendest Du die Produktregel hier an:
2x* e^(-4x²)
Erster Term u=2x
Zweiter Term v=e-Funktion
Ableiten (Produktregel) ergibt als ersten Term (u'v):
2* e^(-4x²)
Der zweite Term (v'u)
2x* e^(-4x²)* (-8x)
Die -8x sind die Nachdifferenzierung des Exponenten.
Wenn Du beide Terme addierst, kannst du die e-Funktion ausklammern, dann kommt das raus, was Du oben geschrieben hast.
Noch ein Tipp: In der Mathe musst Du Dich intensiv mit Grundlagen auseinander setzen und auf Verständnis lernen, sonst kommst Du nicht weiter.
Viel Erfolg Martin
1) du setzt fürs x unendlich ein, dann wird 2x sehr groß und e^(-4x²) wegen ^minus sehr klein, und e^dominiert, dh es wird schneller klein als 2x groß also strebt die funktion gegen 0 mE. 2) produktregel 2e^(-4x²)+2x(-8x)e^(-4x²) und wenn du jetzt e^(-4x²) ausklammerst, kommst du auf das ergebnis.
sehr gute und ausführliche antwort.