Kann mir jemand die Lösung von dieser Matheaufgabe erklären?
Die Lösungen stehen ja schon da allerdings verstehe ich vor allem die von (1) nicht, (2) geht einigermaßen. Es wäre nett, wenn mir jemand erklären könnte, wie man dahin kommt.
1 Antwort
Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist
(i) An der Stelle x=2 befindet sich ein lokales
Extremum (von f)
(ii) Der Punkt W(0|4) ist ein Wendepunkt (von f)
(iii) x=4 ist eine Nullstelle (von f)
(1) f'(2) = 0 wg. (i)
(2) f'(x) = 3a·x² + 2b·x + c nach Ansatz
(3) f'(2) = 3a·2² + 2b·2 + c wg. (2)
(4) 12a + 4b + c = 0 wg. (1) und (3)
und das entspricht der Ableitung von Gleichung III
mithilfe der Information (i).
(5) W(0|4) liegt auf Graph von f wg. (ii)
(6) f(0) = 4 wg. (5)
(7) f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d nach Ansatz
(8) f(0) = a·0³ + b·0² + c·0 + d = d wg. (7)
(9) d = 4 wg. (6) und (8)
und das entspricht Gleichung I.
(10) f"(0) = 0 wg. (ii)
(11) f"(x) = 6a·x + 2b nach Ansatz
(12) f"(0) = 6a·0 + 2b = 2b wg. (11)
(13) 2b = 0 wg. (10) und (12)
und das entspricht Gleichung IV.
(14) f(4) = 0 wg. (iii)
(15) f(4) = a·4³ + b·4² + c·4 + d wg. (7)
(16) 64a + 16b + 4c + d = 0 wg. (14) und (15)
und das entspricht der Ableitung von Gleichung II
mithilfe der Information (iii).
Lösung des Gleichungssystems
I d = 4
II 64a + 16b + 4c + d = 0
III 12a + 4b + c = 0
IV 2b = 0
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V 64a + 16b + 4c + 4 = 0 durch Einsetzen von I in II
VI b = 0 aus IV nach Division durch 2
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VII 12a + c = 0 durch Einsetzen von VI in III
VIII 64a + 4c + 4 = 0 durch Einsetzen von VI in V
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IX 48a + 4c = 0 durch Multipl. von VII mit 4
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X 16a + 4 = 0 durch Subtrahieren von IX von V
XI 16a = –4 durch Subtrahieren von 4 von X
XII a = –¼ durch Division von XI durch 16
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XIII –3 + c = 0 durch Einsetzen von XII in VII
XIV c = 3 durch Addieren von 3 zu XIII
Die Lösung des Gleichungssystems ist a=–¼, b=0, c=3, d=4 und ergibt sich aus den Gleichungen XII, VI, XIV und I.
Probe
I: klar
II:
linke Seite = 64a + 16b + 4c + d
= 64·(–¼) + 16·0 + 4·3 + 4
= –16 + 0 + 12 + 4
= 0
rechte Seite = 0
III:
linke Seite = 12a + 4b + c
= 12·(–¼) + 4·0 + 3
= –3 + 0 + 3
= 0
rechte Seite = 0
IV: klar
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – LMU München, Dipl. Math., eigene Recherche