Kann mir das jemand ganz einfach erklären?
Was eine Potenzmenge, eine Teilmenge, Durschnitt und Vereinigung bedeuten, weiß ich, aber das hier erschließt sich mir nicht. Danke im Voraus.
1 Antwort
Ich gehe davon aus, das es zuvor um Durchschnitte und Vereinigungen von je zwei Mengen ging. Hier hat man nun beliebig viele Mengen, die vereinigt oder geschnitten werden.
X ⊆ 𝒫(M) bedeutet, dass X eine Menge von Teilmengen von M ist.
Beispiel: M = {1, 2, 3}, dann ist 𝒫(M) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} und X ist eine Auswahl davon. Dabei ist X ≠ ∅, die leere Menge darf aber schon als Element in X enthalten sein (z.B. X = {∅} ist erlaubt). Die Menge X ist also eine Menge von Mengen. In meinem Beispiel wähle ich X = {{1}, {2}, {1,2}}.
Die Vereinigung ⋃_{A ∈ X} A besteht dann aus den Elementen aus M, die in mindestens einer der Mengen aus X enthalten sind. In dem Beispiel wären 1 und 2 je in mindestens einer Menge enthalten, aber 3 in keiner. Also wäre die Vereinigung {1, 2}.
Der Durchschnitt ⋂_{A ∈ X} A besteht aus den Elementen aus M, die in allen Mengen aus X enthalten sind. In dem Beispiel ist kein Element aus M = {1, 2, 3} in allen drei Mengen {1}, {2}, {1, 2} enthalten. Also ist der Durchschnitt die leere Menge.
Gerne. Das freut mich, dass es klarer geworden ist. :)
Wäre dann wenn z.B. M={1,2,3}, aber X={{1},{2},{3},{1,2,3}} wäre, wäre die Vereinigung dann Vereinigungszeichen _ A ist Element von X={1,2,3}?
Ja, die Vereinigung wäre die gesamte Menge M, denn alle drei Zahlen kommen in mindestens einer der Mengen {1}, {2}, {3} und {1, 2, 3} vor.
Wäre es verrückt, Sie zu bitten, mir zwei drei Aufgaben zu stellen, die ich dann zum Üben lösen kann und Sie mir dann die Lösung sagen?
Wichtige Beispiele für M = ℝ sind
- die Vereinigung der Mengen aus X = {[1/n, 2 - 1/n]: n ∈ ℕ}
- der Schnitt der Mengen aus X = {]-1/n, 2 + 1/n[: n ∈ ℕ}
Umfangreichere Aufgaben gibt es vielleicht im Internet.
Danke, jetzt habe ich es verstanden.