Kann mir bitte jemand bei der Folgenden Mathe Aufgabe helfen?
Hallo, ich habe folgende Aufgabe als Übung für eine Klausur in der Uni:
Gegeben sind die beiden senkrecht zueinander stehenden Strecken AB und CD, die gemäß Skizze in Teilabschnitte unterteilt sind. Berechne den Radius r!
Über Hilfe wäre sehr dankbar. Ich weiß auch leider keinen Ansatz.
Danke im Voraus LG
4 Antworten
Der gesuchte Kreis ist der Umkreis des (nicht rechtwinkligen) Dreiecks ADB.
Von diesem Dreieck kann man sich aus den gegebenen Längen per Pythagoras die Seite DB (ich nenne sie a) und per Tangens den gegenüberliegenden Winkel α (beim Punkt A) ausrechnen.
Gemäß Sinussatz gilt dann:
r = a / (2 · sin α)
Berechnung:
- a = √(3² + 6²) = √45
- α = arctan(3/2) ≈ 56,3°
- r = a / (2 · sin α) ≈ 4,03
Tipp:
Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Sehnen AD und DB. Die Sehnenlängen können mittels Pythagoras berechnet werden. Die Punkte A, B und D können in einem örtlichen Koordinatensystem definiert werden. Für die Berechnungen ist die Orthogonalität zwischen Sehne und Mittelsenkrechte zu nutzen.
Ich würde das Lösen, indem ich mir das in ein kartesisches Koordinatensystem (mit Ursprung beim Schnittpunkt der beiden Strecken) eingebettet denke.
Dann hat man A(-2 | 0) und D(0 | -3) und B(6 | 0) als drei Punkte auf dem Kreis gegeben.
Nun gibt es unterschiedliche Möglichkeiten, die mir einfallen, wie man nun weiter vorgehen könnte.
1. Möglichkeit:
Setze die Gleichung...
... für den Kreis an, und löse das Gleichungssystem, welches entsteht, wenn man die Koordinaten der Punkte A, D, B in diese Gleichung einsetzt. [Bzw. muss man das Gleichungssystem nicht komplett lösen, sondern nur soweit, bis man r erhalten hat.]
2. Möglichkeit:
Berechne die Mittelsenkrechten der Strecken [A, B] und [A, D]. Deren Schnittpunkt ist dann der Kreismittelpunkt M. Dann erhält man den Radius beispielsweise als Länge der Strecke [A, M].
Hallo,
zeichne einen Radius vom Mittelpunkt M des Kreises zu Punkt A und nenne den Schnittpunkt zwischen den beiden Sehnen S.
Nach dem Sehnensatz gilt: AS*SB=CS*SD, in Zahlen: 2*6=x*3, daher x=4.
Die Mittelsenkrechten der beiden Sehnen schneiden sich in M.
Die Sehne CD ist 7 Einheiten lang, die Sehne AB 8 Einheiten.
Der Mittelpunkt muß demnach 0,5 Einheiten über AB schweben und 2 Einheiten rechts von CD.
Du kannst also von M aus eine 0,5 Einheiten lange Linie senkrecht auf AB ziehen und von da aus eine 4 Einheiten lange Linie zu Punkt A.
Nun brauchst Du nur noch den Satz des Pythagoras: r²=0,5²+4².
Herzliche Grüße,
Willy
Der Sehnensatz ist mir auch erst nach der Schulzeit begegnet oder ich habe vergessen, daß wir den mal behandelt haben (meine Schulzeit liegt mehr als vierzig Jahre zurück).
Er ist mir letztens in einem Buch über Kreisgeometrie begegnet, daher war er mir hier eingefallen.
Gute Idee. Der Sehnensatz entfällt mir irgendwie immer, da ich den nie in der Schule hatte.
Aber dann kann man mit der Mittelsenkrechten zur Strecke [C, D] arbeiten, was etwas angenehmer ist (da sie horizontal verläuft) als im Vergleich mit der Mittelsenkrechten zur Strecke [A, D] zu arbeiten, wie ich es in meiner Antwort vorgeschlagen hatte.