Kann man ohne Ausrechnen (nur mit Umformen) zeigen, dass 3*14+2 durch 4 zu teilen geht?
Frage steht oben, vielen Dank für eure Hilfe. Ohne euch würde ich nicht weiterkommen :D
8 Antworten
14 ist gerade, aber nicht durch 4 teilbar ("14 ist kongruent zu 2 modulo 4")
Eine gerade Zahl mit 14 multipliziert ist damit durch 4 teilbar
Wenn wir eine durch 4 teilbare Zahl abziehen, ändert das nichts an der Teilbarkeit durch 4 (allgemeiner: der Rest bei der Division durch 4 bleibt unverändert)
Also können wir (gerade Zahl) * 14 abziehen, praktischerweise die größtmögliche Zahl, also bei 3 * 14 demnach 2 * 14
Bleibt als Term 1 * 14 + 2 übrig
Multiplikation mit 1 ändert nichts, es bleibt also 14 + 2
Beide Zahlen haben bei Division durch 4 den Rest 2, ihre Summe also denselben Rest wie 2+2, das wäre 4, aber das hat schon wieder den Rest 0
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Oder man begibt sich gleich in den "Restklassenring modulo 4"
3 * 14 + 2 ≡ 1 * 2 + 2 ≡ 2 + 2 ≡ 4 ≡ 0 (modulo 4)
d. h. 3 * 14 + 2 hat den 4er-Rest 0, d. h. es ist durch 4 teilbar
3*14 + 2 = 3* (12 + 2) + 2 = 3 * 12 + 3 * 2 + 2 = 3 * 4 * 3 + 3 * 2 + 2 = 3 * 4 * 3 + 4 * 2
das ist durch 4 teilbar, weil beide Summanden durch 4 teilbar sindq.e.d
Okay also bis zum 3 * 4 * 3 + 3 * 2 + 2 ist alles klar (Distributivgesetz angewandt und dann die 12 gesplittet). Wie kommst du davon auf 3*4*3+4*2?
Man hätte doch stattdessen mit 3*2+2 6+2?
Ja, das wäre auch gegangen, hätte dann aber keine 4 mehr enthalten, die man gebraucht hätte.
3*2 + 2 = 3*2 + 1*2 = 4*2 ; 4*2 und 6+2 ergibt beides 8
Vielen Dank! Stimmt, mit 1*2 kann man ja dann die 2 "ausklammern"...
Aber die Lösung von HeniH gefällt mir von allen Antworten am besten.
Hi,
3 * 14 + 2 = 2 * (3 * 7 + 1) = 2 * 22 = 2 * 2 * 11 = 4 * 11
LG,
Heni
3* (14+2)
könnte das die Lösung sein, denn 14+2 ist 16 usw. ( siehe andere Antwort)
Die Lösung von @Pwolff ist natürlich richtig, aber für Schüler vielleicht ein klein wenig kompliziert. Ich versuche es mal anders.
3×14 + 2 = 3x2x7 + 2 = (3×7+1)×2. Nun ist 3x7 ungerade, damit 3x7 + 1 gerade. Eine gerade Zahl hat die Darstellung 2xm, also steht da insgesamt 2xmx2 oder 4xm, was zu beweisen war.
2xmx2 - unkompliziert ist das aber auch nicht. Also, ich jedenfalls muss ich beim Nachvollziehen höllisch aufpassen.
Ich hätte überall × statt x verwenden sollen, dann ist es einfacher zu lesen. Auf dem Pad gibt es leider keine Option für den Formeleditor und ich war zu faul auf Desktop umzuschalten.
Kleine Anmerkung, es muss 3 * 14 + 2 ≡ (-1) * 2 + 2 ≡ -2 + 2 ≡ 0 (modulo 4) heißen.