Kann jemand mir das ausführlich erklären?

Aufgabe:

Herr Müller bewahrt seine Würfel in einer kleinen Dose (Zylinder) mit einem Fassungsvermögen von 0,5l auf. Die Dose ist so bemessen, dass möglichst wenig Material zur Herstellung benutzt wurde.

Bestimmen Sie den Durchmesser und die Höhe dieser Dose!

Es wäre schön wenn jemand mir das ausführlich erklären. Danke!

Answer 1

[verreisterNutzer]

Ich gehe mal davon aus, dass die Dose auch einen Deckel hat. Dann gilt für die Mantelfläche M und das Volumen V des Zylinders:

$\left(1\right)\ M=2\pi rh+2\pi r^2$ $\left(2\right)\ V=\pi r^2h\ \to h\ =\frac{V}{\pi r^2}$

Setzt man h aus (2) in die Gleichung (1) für die Mantelfläche M ein, so erhält man eine Funktion M(r):

$M\left(r\right)=2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2}+2\pi r^2=\frac{2V}{r}+2\pi r^2$

Für diese Funktion ist das Minimum zu suchen - daher muss man die Nullstelle der 1. Ableitung nach r finden.

$M'\left(r\right)=-\frac{2V}{r^2}+4\pi r\ =0\ \Leftrightarrow-2V+4\pi r^3=0\ \Leftrightarrow r\ =\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

Die Höhe steht rechts in Gleichung (2)

Anmerkung: Soll die Dose oben offen sein, ändert sich die "um den Deckel reduzierte Mantelfläche" zu M = 2πrh + πr², aber ansonsten bleibt der Rechenweg gleich.

Comments

[Halbrecht]

nehmen wir doch mal "Zylinder" für bare Münze , und nicht "zylinderförmig" . Womit Boden und Deckel mit im Spiel sind

[spelman]

So bekommt man eine Dose mit minimaler Oberfläche. Aber in der Aufgabenstellung ging es noch um die Würfel. Ignorieren wir das und hoffen, dass die Würfel rein passen, oder soll das Seitenverhältnis der Würfel berücksichtigt werden?

[verreisterNutzer]

@spelman

Nee - um die Würfel geht es grade nicht. Die dienen nur der Ablenkung. Da steht eindeutig:

Die Dose ist so bemessen, dass möglichst wenig Material zur Herstellung benutzt wurde. Bestimmen Sie den Durchmesser und die Höhe dieser Dose!

[spelman]

@verreisterNutzer

Ja, das finde ich so eindeutig nicht.

[Halbrecht]

@spelman

Die Würfel sollen die Aufgabe nur ausschmücken und "realtitätsnah" erscheinen lassen . Gerne findet man im Buch auch eine Zeichnung mit aus einer Dose herausfallenden Würfeln.

Was sicher nicht in der Aufgabe behauptet wird , ist , dass die Dose optimal bis oben hin gepackt ist

[spelman]

@Halbrecht

Du wirst Recht haben, ich habe an eine die Würfel optimal umschließende Dose gedacht. Aber offenbar ist das nicht gemeint.

Answer 2

[spelman]

Das kleinste Volumen wird sicher erreicht, wenn die Würfel plan aufeinander stehen. Wir wissen nicht, wie viele Würfel Herr Müller hat. Die Höhe der Dose ist aber ein ganzzahliges Vielfaches der Kantenlänge des Würfels, der Durchmesser die Diagonale einer Seitenfläche. Das Volumen ist bekannt. Daraus müßte sich etwas machen lassen...

Answer 3

[gauss58]

Extremalbedingung:

O(r, h) = 2 * r² * π + 2 * r * π * h → Minimum

Nebenbedingung:

V = r² * π * h = 500 cm³

Nebenbedingung nach h umstellen und in die Extremalbedingung einsetzen. Nach r ableiten und das Minimum bestimmen.

...

Comments

[Maracay]

warum muss das Ganze abgeleitet, werden. hat jemand eine mathematische Erklärung dafür.

[gauss58]

@Maracay

Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe. Extrema findet man, wenn man die erste Ableitung gleich Null setzt. Dann ist die Steigung gleich Null. Wenn die zweite Ableitung größer Null ist, handelt es sich um ein Minimum.