Ist mit Raumkrümmung Raumverdrängung gemeint? Wie soll ich mir das sonst 3 dimensional vorstellen?

Hallo rodney12345678,

mit der Krümmung des Raumes oder allgemeiner einer Mannigfaltigkeit *) ist eine Eigenschaft gemeint, die nichts mit einer Verbiegung in höheren Dimensionen zu schaffen haben muss.*)

Es geht um die innere Geometrie und das Verhalten Geodätischer Linien. Eine solche Linie beschreibst Du, wenn Du versuchst, genau geradeaus zu fahren. Tust Du dies etwa auf der Erde, vielleicht mot einem Flugzeug – dann brauchst Du nämlich keine Rücksicht auf Berge, Meere, Siedlungen etc. zu nehmen – fliegst Du letztlich einen Großkreis um die Erde herum.

Bastelst Du aus Geodätischen ein Dreieck, hat es in einer geometrisch flachen Fläche immer eine Winkelsumme von 180° respektive π. Letzteres ist auch das Verhältnis des Umfangs U eines Kreises zu dessen entlang einer Geodätischen durch den Kreismittelpunkt gemessenem Durchmesser d. Vor allem gibt es parallele Geodätische.

Sollte ein hinreichend großes Dreieck eine kleinere Winkelsumme haben, muss die Mannigfaltigkeit eine negative Krümmung (so eine wie z B. eine Tuba) haben, im gegenteiligen Falle muss eine positive Krümmung vorliegen, wie z.B. auf der Erdoberfläche. Auch d weicht von U⁄π ab, bei negativer Krümmung nach unten, bei positiver nach oben.

Außerdem neigen Geodätische in einer negativ gekrümmten Mannigfaltigkeit dazu, auseinander zu laufen, während sie in einer positiv gekrümmten zusammenlaufen.

Dies tun beispielsweise die Meridiane an den Polen, aber auch jeder Großkreis auf der Erdoberfläche mit jedem anderen. Es gibt zwar auch parallele Kreise, nämlich die Breitenkreise, aber von denen ist nur einer ein Großkreis, nämlich der Äquator.

In EINSTEINs Allgemeiner Relativitätstheorie (ART) geht es allerdings gar nicht in erster Linie um die Krümmung des Raumes, sondern die der Raumzeit; Du musst also nicht nur 3D, sondern (1+3)D denken (die Zeit verhält sich anders als die räumlichen Dimensionen, daher ist die Raumzeit nicht einfach ein 4D- Raum).

Hier geht es um Weltlinien (WL), die die Position eines Körpers (genauer: seines Schwerpunkts) in Beziehung zur Zeit setzen.

• Ruhen zwei Körper relativ zueinander, sind ihre WLn parallel.
• Geodätische WLn sind solche von Körpern, die keine Kräfte "spüren" (irgendwo im freien Weltraum – oder im freien Fall bzw. Orbit).

Die WL des Erdmittelpunktes ist natürlich geodätisch, da sich die Erde insgesamt in einem Orbit um die Sonne befindet.

Die WL eines Körpers an der Erdoberfläche ist zu ihr parallel, aber nicht geodätisch, was wir als Gewichtskraft spüren.

Springe ich hoch, ist meine WL zwischen Absprung und Landung geodätisch, läuft damit aber auf die WL des Erdmittelpunktes zu. Wir nehmen also die Krümmung der Raumzeit unmittelbar wahr, auch wenn wir sie nicht sehen. Wir spüren sie aber, nämlich als Gravitation.

Abb. 1: Ein Luftsprung ist geometrisch mit einer Flugreise zwischen zwei Orten auf demselben Breitenkreis vergleichbar. Der Breitenkreis symbolisiert die WL des Fleckens auf dem Erdboden, von dem aus ich abspringe und wo ich auch wieder aufkomme, und die Orte stehen für die beiden Ereignisse Absprung und Landung. Der über höhere Breiten führende Kreisbogen ist meine WL während des Sprungs.

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*) Eine höherdimensionale Verallgemeinerung einer Fläche. Für Flächen konnte schon GAUß zeigen, dass sich ihre Krümmung unabhängig von einer eventuellen Einbettung in den Raum mathematisch beschreiben lässt. RIEMANN, der bei ihm studiert hatte, übertrug das Prinzip auf allgemeinere Mannigfaltigkeiten. Weil sie mehr Dimensionen haben, kann eine Krümmung in einer Richtung positiv und in einer anderen negativ sein.

Umgekehrt ist eine Zylindermantelfläche zwar in einer dritten Raumdimension gebogen, aber tatsächlich nicht gekrümmt. Du kannst Sie im Prinzip aufschneiden und auf einer Ebene ausrollen, ohne dass es zu Verzerrungen kommt.

nein. weil "raumverdrängung" gar nicht definiert ist, das hast du dir selbst gerade ausgedacht.

mit krümmung (du hast als tag "relaltivitätstheorie" angeführt, beachte dass es hierbei mehr um die raumzeitkrümmung geht, nicht raumkrümmung, welche koordinatenabhängig ist) ist in diesem kontext gemeint dass der Riemannsche krümmungstensor ungleich null ist was auswirkungen auf die geometrie hat (was als effekte hat dass paralellen sich schneiden können, dreiecke andere winkelsummen haben, usw ... ).

eine kugeloberfläche hat zB andere geometrische eigenschaften als eine flache ebene.

Wie soll ich mir das sonst 3 dimensional vorstellen?

gar nicht. Vorstellen kann man sich nur zweidimensionale Modelle des Raumes, in denen Zeit die dritte Dimension ist. Aber diese Vorstellung hilft einem nicht, Schlussfolgerungen zu ziehen. Im gekrümmten Raum sind Geodesics ähnlich gekrümmt wie auf der Erdoberfläche: man folgt ihnen kräftefrei und hält sie für gerade Linien, bis man mit anderen zusammenstößt, die auf vermeintlich parallelen Geodesics unterwegs sind.

Nein wieso sollte der Raum verdrängt werden, bzw was soll man sich unter Raumverdrängung überhaupt vorstellen?

Im 3 Dimensionalen ist das schwer vorstellbar, aber stell dir eine gespanntes Laken vor, das ist glatt. Dann lege ein Gewicht drauf und das Laken wird verformt, diese Krümmung ist die Raumkrümmung eben nur rutnergebrochen auf 2 Dimensionen.