Ist es möglich die Gleichung a^3 + b^3 + c^3 = ( a+ b + c)^2 durch Umformung zu lösen?
Ich habe jetzt alles versucht: Kubische Formeln, sämtliche binomische und trinomische Formeln und konnte die Gleichung nicht lösen. Ich bin jetzt durch Abschätzen auf die Lösung (1 ; 2 ; 3) gekommen, wobei es egal ist welche Variable welchen Wert annimmt. Kann man die Gleichung durch reine Umformung lösen oder ist das unmöglich?
2 Antworten
Interessante Aufgabe. Da kommst du mit Standardmitteln nicht weit, sondern musst schon klug nachdenken. Wir nehmen c<b<a an.
Wir schreiben das um zu
1 = a³/(a+b+c)² + b³/(a+b+c)² + c³/(a+b+c)².
3c < a+b+c < 3a
9c² < (a+b+c)² < 9a²
Daraus bekommen wir zwei Ungleichungen, die zumindest etwas einfacher aussehen. Ich weiß nicht ob dir das weiterhilft, ich bin gerade wandern und kann gerade nicht weiter machen.
Oh, ich sehe gerade: Das ist kein schlechter Ansatz. Eine dieser Ungleichungen liefert dir direkt eine obere Grenze für eine der Variablen. :) Viel Spaß damit.
Nein, das ist nicht möglich, weil es nur eine Gleichung, aber 3 Unbekannte gibt. Immer, wenn es weniger Gleichungen als Unbekannte gibt, gibt es keine eindeutige Lösung.
Über einen Koeffizientenvergleich habe ich nun 3 Lösungen gefunden:
- Lösung: {1; 2; 3}
- Lösung: {1; 2; -2}
- Lösung: {1; -1; 0}
Ist in manchen Fällen schon möglich durch z.B. linearfaktordarstellung, in diesem aber sicher nicht? Die Aufgabe wurde in der Regionalrunde der Mathematikolympiade vor 2 Jahren gestellt.