Ist das der Grenzübergang von Divergenz zu Konvergenz oder kann man den Übergang noch feiner machen?

Wenn man harmonische Reihe auf Summe(1/n^(1+10⁻¹³)) erweitert, dann ist sie gerade noch konvergent.

Bei Summe (1/n^(1+10⁻¹⁴)) ist die Reihe schon divergent.

https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Sum%5BDivide%5B1%2CPower%5Bn%2C1%2B0.00000000000001%5D%5D%2C%7Bn%2C1%2Cinfinite%7D%5D

Answer 1

[aperfect10]

@LoverOfPi hat recht,

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1+\alpha}}$ konvergiert für alle

$\alpha > 0.$ alpha kann beliebig klein sein, auch viel kleiner als 10^(-14). Wenn Du möchtest kann ich Dir zeigen, wieso.

Vertraue niemals blind der Ausgabe von WolframAlpha, dieses Tool fabriziert oft den größten Schwachsinn.

Herleitung der obigen Aussage

Einer der einfachsten Wege führt über das Integralkriterium. Dieses besagt:

Ist f > 0 eine monoton fallende Funktion auf [p, unendlich), und existiert das Integral

$\int_p^\infty f(n)\,dn,$

genau dann konvergiert die Reihe

$\sum_{n=p}^\infty f(n).$

In unserem Fall ist p = 1,

$f(n) = \frac{1}{n^{1+\alpha}},$ f ist nicht negativ und monoton fallend für alpha > 0. Es gilt

$\int^\infty_1 \frac{1}{n^{1+\alpha}}\,dn = \left[-\frac{n^{-\alpha}}{\alpha}\right]^\infty_1 = -\alpha^{-1}\cdot\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}+ \frac{1}{\alpha}$ Der Grenzwert auf der rechten Seite existiert genau dann, wenn

$\alpha > 0.$

Demnach existiert genau dann das Integral, und nach dem Integralkriterium konvergiert auch genau dann die Reihe.

Answer 2

[LoverOfPi]

Die Reihe von 1/n^s konvergiert für alle s>1. Ich denke WA kommt nur mit der Darstellung nicht klar, denn geben wir das anders ein, siehst du das richtige Ergebnis:

Comments

[BigMaul]

13 muss es sein nicht 14

[LoverOfPi]

@BigMaul

Nein, es ist doch ein Bruch.

[LoverOfPi]

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