Integralrechnung! Was muss ich als erstes minus nehmen. f(x)-g(x) oder g(x)-f(x) Angeblich 'obere minus untere' Funktion. stimmt das?

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5 Antworten

Hi,

das ist schnurzpiepegal :))

Allgemeines Vorgehen:

  • Differenzfunktion bilden, dabei ist es egal, ob du f(x) -g(x) oder g(x) -f(x) rechnest
  • Anschließend die Nullstellen der Differenzfunktion bilden. Dabei kommt es eben auf die Beschaffenheit der Funktion an. In Frage kommen meist
    => ausklammern (wenn nur Terme mit x vorhanden sind)
    => pq-Formel (wenn man eine quadratische Funktion erhält - bei Bedarf in die Normalform überführen)
    => Polynomdivision (bei Polynomfunktionen mit einem Gließ ax³ oder höher)
  • Stammfunktion der Differenzfunktion bilden
  • Nun von Nullstelle zu Nullstelle integrieren. Dabei sind die Nullstellen der Differenzfunktion = Schnittpunkte der Funktionen. Und man muss, denn f(x) und g(x) bspw. drei Schnittpunkte haben, von der ersten zur zweiten und dann von der zweiten zur dritten unabhängig integrieren.
  • Anschließend die Integrale addieren.

Ein Beispiel soll es deutlich machen:

Fläche zwischen f(x) = x³ -4x² und g(x) = 5x

Wir bilden zunächst die Differenzfunktion. Ich mache mal beide Wege, damit du siehst, dass das Gleiche heraus kommt:

Zunächst für f(x) -g(x) = 0:

x³ -4x² -5x = 0

Nun kann man ein x ausklammern, da alle Terme ein x haben (Distributivgesetz rückwärts):

x(x² -4x -5)

Nun wissen wir: Eine Lösung ist x1 = 0! Denn der Satz vom Nullprodukt besagt: Ist einer der Faktoren Null, so ist das Produkt Null!

Jetzt müssen wr dafür sorgen, dass die Klammer Null wird! Dazu setzen wir den Term in der Klammer gleich Null:

x² -4x -5 = 0

Wir haben eine quadratische Gleichung in Normalform, also kann man die pq-Formel verwenden:

x2,3 = 2 +- Wurzel (4+5)

 = 2 +- Wurzel (9)

= 2 +- 3

x2 = -1; x3 = 5

Unsere Schnittstellen liegen also bei -1, 0 und 5. Das heißt, wir integrieren

a) von -1 0

b) von 0 bis 5

Dazu bestimmen wir die Stammfunktion. Unsere Differenzfunktion ist:

h(x) = x³ -4x² -5x

Wir erhalten als Stammfunktion nach den normalen Regeln:

H(x) = 1/4*x^4 -4/3*x³ -5/2*x² +c

Nun integriert man erstmal von -1 bis 0. Vergiss' nicht: Es gilt untere Grenze minus obere Grenze! Wenn was Negatives raus kommt, ist das normal; Der Betrag gibt die Fläche an. Wie man das Integral berechnet, weißt du ja:

Int. von -1 bis 0 (h(x))

= 1/4*(-1)^4 -4/3*(-1)³ -5/2*(-1)² - 0 (da wir nur Terme mit x haben)

= 1/4*1 -4/3*(-1) -5/2*1

= 1/4 + 4/3 - 5/2

= -11/12

Das Gleiche machst du nochmal für das Integral von 0 bis 5:

Int. von 0 bis 5 (h(x))

= 0 (s.o.) -1/4*5^4 +4/3*5³ +5/2*5²

= -156 1/4 +166 2/3 +62 1/2

= 72 11/12

Nun addierst du deine Beträge:

A = 72 11/12 + 11/12 = 73 5/6 FE (Flächeneinheiten)

Ich hoffe, dass ich mich jetzt nicht um halb 1 verrechnet hab, falls doch, dann tut es mir sehr leid. Aber ich hoffe, dass ich dir trotzdem helfen konnte :))

Edit: Hab den Fall g(x) -f(x) vergessen - aber den kriegst du garantiert selbst hin ;)

Bei Fragen melde dich!

LG ShD

Danke für die Antwort, dass hat mir sehr geholfen.

Eine frage noch, gibt es eine möglichkeit eine Probe zu machen, ob das Ergebnis (FE-Wert) richtig ist?

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"Nun addierst du deine Beträge:

A = 72 11/12 + 11/12 = 73 5/6 FE (Flächeneinheiten)"

"int. von -1 bis 0 (h(x))

= 1/4*(-1)^4 -4/3*(-1)³ -5/2*(-1)² - 0 (da wir nur Terme mit x haben)

= 1/4*1 -4/3*(-1) -5/2*1

= 1/4 + 4/3 - 5/2

= -11/12"

Wie kommst du eig von -11/12 auf +11/12?? Liegt es daran, dass man [72 11/12]-[-11/12] und daraus wird plus 11/12=?

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@Kasura121

Hi,

Man addiert, wie ich schrieb, die Beträge. Der Betrag gibt an Wie weit eine Zahl von der Null entfernt ist. -7 und +7 haben beide den Betrag 7 :)

So eben auch hier. Deshalb ist es ja schnurz, ob dein Integral mal negativ ist. :)

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Für alle Zukunft! Es ist egal. Da läuft immer eine Funktion zeitweise oberhalb und zeitweise unterhalb der anderen.
Wenn du von vornherein eine Differenzfunktion f(x) - g(x) = 0
bildest, bekommst du eine neue Funktion, die du mit p,q oder Polynomdivision, Substitution oder, was nötig ist, behandelst. Das bringt die Schnittpunkte, wobei du im Gegensatz zur Rechnung für Nullstellen auch die y-Werte ausrechnen musst, denn diese Nullstellen sind keine, sondern sind die Schnittpunkte.

UND JETZT KOMMT'S:
Du darfst dann nur von Nullstelle zu Nullstelle integrieren, die Ergebnisse absolut nehmen und addieren!

Wenn du über eine Nullstelle hinwegintegrierst, werden die Flächen unter der vorgeblichen x-Achse automatisch subtrahiert. Die findest du nie wieder!

Verifizierung: integriere mal x³ von -2 bis +2!

Es hat sich nur als bequeme Angewohnheit herausgestellt, wenn g(x) eine Gerade oder auch nur wenigstens eine von einem niedrigeren Grad als f(x) ist, dann diese zu subtrahieren. Das geht erfahrungsgemäß schneller und mit weniger Minuszeichen ab.
Muss aber nicht sein.

Beim Subtrahieren muss natürlich jeder einzelne Term der zweiten Funktion umgedreht werden, nicht nur das x-Glied.
Beliebter Fehler!

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Sehr schöne Antwort!

Nullstellen der Differenzfunktion = Schnittpunkte der Funktionen. Und man muss, denn f(x) und g(x) bspw. drei Schnittpunkte haben, von der ersten zur zweite und dann von der zweiten zur dritten unabhängig integrieren, anschließend die Integrale addieren. Nicht wahr? ur für den Fragesteller zur klarstellung :)

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@DieChemikerin

Genauso.

Oder von einer festgelegten Grenze ab bis zur ersten Nullstelle und analog weiter.

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naja, pauschal kann man das nicht mit f(x) und g(x) sagen, da wir nicht wissen, wie f(x) bzw. g(x) verlaufen und die grenzen der Fläche nicht wissen :D

Aber die Faustregel, obere - untere Funktion in dem Bereich x stimmt! :)

ja, das stimmt; wenn du nicht weißt, wer oben veläuft, dann machst du Betragsstriche und dadurch wird das Ergebnis eh positiv.

ist es also egal, ob ich f(x)-g(x) mache oder g(x)-f(x)? 

woher weiß ich, wer oben verläuft?=

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@Ellejolka

verfälscht nicht dann das Ergebnis ?= weil f(x)-g(x) ist ja nicht gleich g(x)-f(x) oder?

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@Ellejolka

ich habe es nachgerechnet, es stimmt ^^. vielen dank für deine hilfe haa :D

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Könntest du die gesamte aufgabe hochladen - hiermit kann man relativ wenig anfangen.

f(x)=x^2-4x+1

g(x)=-x^2+6x-7

 x1=4 , x2=1 

Und laut dem Lösungsweg muss man g(x)-f(x) machen, aber verstehe nicht warum.

A=((-x^2+6x-7)-(x^2-4x+1))

Weißt du warum ich g(x)-f(x) machen muss=

dankle im voraus

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